Xosmas integral

Xosmas integral Reja: Integrallash oralig'i cheksiz bo'lgan hol Integrallash oralig'i chekli bo'lib integral osti funksiya chegaranmagan hol Umumiy hol Xosmas integralnin geometrik masalalarga tadbiqi Yuqorida aniq integralni ta'riflashda integrallash oralig'i [a;b] ni chekli hamda unda aniqlangan f(x) integral osti funksiyasi chegaralangan bo'lishini talab qilgan edik. Bunga sabab qo'yilgan bu shartlardan birortasi bajarilmagan taqdirda integral yig'indi mabjud bo'lmay qolishi mumkinligidir. Ammo, bu shartlar bajarilmagan taqdirda ham integral tushunchasini kiritish mumkin bo'lib, bunday holda uni xosmas integral deb ataladi. Bu yerda xosmas integral tushunchasini integrallash oralig'i cheksiz bo'lgan, integrallash oralig'i chekli bo'lib, unda integral osti funksiyasi chegaralanmagan va nihoyat, yuqoridagi ikkala hol ham mavjud bo'lgan hollar uchun alohida kiritamiz. 1. Integrallash oralig'i cheksiz bo'lgan hol 1. Aytaylik, f(x) funksiya [a;+) yarim cheksiz oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo'lsin. U vaqtda b a son uchun (1) aniq integral mabjuddir. Agar b+ da (12.1)integralning chekli limiti mabjud bo'lsa, bu limit f(x) funksiyaning [a;+) oraliq bo'yicha xosmas integrali deyiladi va kabi belgilanadi. Demak, ta'rif bo'yicha . (2) Agar xosmas integral yuqorida kiritilgan ma'noda mabjud bo'lsa, uni yaqinlashuvchi, aks holda esa uzoqlashuvchi deyiladi. Xosmas integral uzoqlashuvchi bo'lsa, u son qiymati jihatdan hech qanday ma'noga ega emasligini aytamiz. 1-misol. xosmas integral hisoblansin. yechish. Integral ostidagi funksiya grafigini quramiz: restart; with(plots): Warning, the name changecoords has been redefined plot(1(1+x^2), x=-66, y=-12,color= blue, thickness=2); . Demak, bu xosmas integral yaqinlashuvchi va uning son qiymati ga tengdir. int( 1(1+x^2), x=0infinity ); 2-misol. xosmas integralni ga nisbatan tekshiring (R) yechish. Agar 1 bo'lsa, . Bu yerda ikki holni farqlashga to'g'ri keladi. a) 1 1- 0 -1 0 bo'lib, , ya'ni bu holda xosmas integral yaqinlashuvchi ekan. b) ifoda 1-0 bo'lganligi sababli b1- + , ya'ni . Demak, bu holda xosmas integral uzoqlashuvchidir. Endi =1 holni qarasak, b 1 bo'lganda ekanligidan xosmas integralning uzoqlashuvchiligi kelib chiqadi. Shunday qilib, xosmas integral 1 bo'lganda yaqinlashuvchi bo'lib, 1 bo'lganda esa uzoqlashuvchidir. Eslatma. Xosmas integralni yuqoridagi misoldagiga o'xshash tekshirish uni yaqinlashishga tekshirish deb atalib, bunda uning qiymatini, agar talab qilinmagan bo'lsa, topish (hisoblash) shart emasdir. Yuqorida ko'rilgan misollardan integral osti funksiyasining boshlang'ich funksiyasi F(x) ning xosmas integral yaqinlashuvchi bo'lishi uchun x+ dagi chekli limiti mabjud bo'lishi kerak ekanligini ko'ramiz. Quyidagi teorema o'rinlidir. 1-teorema. Agar f(x) funksiya [a;+) oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo'lib, bu oraliqda uning boshlang'ich funksiyasi F(x) mavjud va x+ da chekli limitiga ega bo'lsa, xosmas integral yaqinlashuvchi bo'ladi. Isbot. . Bu yerda belgilashdan foydalandik. Teorema sharti asosida F(+) chekli limit mabjudligidan ...