Chegaraviy masalalarni yechishning Galyorkin usuli

Chegaraviy masalalarni yechishning Galyorkin usuli Reja: o'zaro ortogonal funksiyalarni tanlash Tafovut funksiyasi Galyorkin usulining mohiyati Galyorkin usuli takribiy-analitik usullar guruhiga kiradi. Mazkur usullar guruhi tarkibiga kiruvchi barcha usullarda berilgan differensial tenglamaning yechimi takribiy aniqlangan formulalar yordamida topiladi va albatta, yechim xam analitik ko'rinishda ifodalanadi. ayniqsa, kupgina fizika va mexanika masalalarining yechimini analitik ko'rinishda kidirish lozimligi, takribiy analitik usullarni o'rganishga katta ehtiyoj tugdiradi. Deyarli barcha takribiy-analitik usullarning algoritmlari bir-biriga o'xshash bo'lgani uchun kuyida Galyorkin usulini o'rganish bilan cheklanamiz. Bizga yana avvalgi mavzudagi kabi, quyidagi chegaraviy masala berilgan bulsin, yani: (1) tenglama va (2) chegaraviy shartni kanoatlantiruvchi yechimni topish kerak. Oliy matematika kursidan malumki, ixtiyoriy uzluksiz funksiyani cheksiz kator ko'rinishida ifodalash mumkin. Galyorkin usulida ushbu katordagi nta chekli xad bilan chegaralanib, chegaraviy masalaning yechimini quyidagi ko'rinishda kidirish taklif etiladi. (3) Bu yerda shuni eslatib utish lozimki, usulning yul qo'yilgan yagona va asosiy xatoligi cheksiz xadli katorni chekli xadli katorga almashtirishdan iboratdir. katordagi xadlar sonini kancha ko'p olsak, shunchalik olingan natijalar ishonchli va aniq yechimga yaqin bo'ladi. Lekin, ikkinchi tomondan, katordan kuprok xad olishga intilish kulda bajariladigan amallar sonini keskin orttirib yuboradi. Bu esa yul kuyilishi mumkin bo'lgan xatolik ehtimolini keskin orttiradi. Shuning uchun amaldagi hisob ishlarida shartidan kelib chikiladi. Endi etiborimizni yana yechimni kidirishga karatsak, formuladagi -lar qiymatlari nomalum bo'lgan uzgarmaslar hisoblanadi. lar esa hisob ishlarini bajaruvchi tomonidan tanlab olinadigan [a, b] kesmada ikki marta uzluksiz differentsallanuvchi, chiziqli bog'liq bo'lmagan funksiyalar hisoblanadi, yani ular bazis sistemasini tashkil qilib, o'zaro ortogonallik shartini kanoatlanirishi kerak. Funksiyalarni ortogonallik sharti kuyidagicha aniklanadi. bulsa bu yerda -ortogonallik koeffitsiyenti. Bazis funksiyalarni tanlashda quyidagi shartlarni hisobga olsak, (3) formula bilan aniklanuvchi masalaning yechimi uzgarmaslarning ixtiyoriy tanlangan xadida xam chegaraviy masalaning (2) chegaraviy shartlarini kanoatlantiradi. Bazis funksiyalarni tanlash kuyidagicha amalga oshiriladi. Avval quyidagi operatorlarni muomalaga kiritaylik: funksiya - berilgan chegaraviy shartni kanoatlantiruvchi funksiya bo'lishi lozim, yani: yoki boshqacha qilib aytganda . funksiyalari esa berilgan chegaraviy shartning 1-jinsli holatini kanoatlantiruvchi funksiyalar bo'lishi lozim, yani: , yoki Bazis funksiyalarni tanlash yo'llarini quyidagi misolda ko'rib chikaylik: Berilgan chegaraviy masalaning chegaraviy shartlari kuyidagicha berilgan bulsin: ni shunday tanlaymizki, , yani berilgan chegaraviy shartni kanoatlantirishi kerak. Xuddi shunga o'xshash, boshqa bazis funksiyalarlar esa bir jinsli chegaraviy shartlarni kanoatlantirish va chiziqli bog'liqsiz bo'lishi kerak. yuqorida soddalik uchun deb hisoblandi. Biz bazis funksiyalarni tanlashni urgandik, endi chegaraviy masalaning yechimi fakat va nomalum koeffitsentlarga bog'liq bo'lib koldi. va uzgarmaslarni esa Galyorkin taklif etgan usul bilan aniklashni tashkil kilamiz. Buning uchun, dastlab (3) tenglamani (1) differensial tenglamaga kuyib, quyidagi ...