Chiziqsiz dasturlash masalasining qo'yilishi. Lokal va global ekstremum qiymatlar

chiziqsiz programmalash masalasining kuyilishi. Lokal va global ekstremum qiymatlar Reja: Masalaning kuyilishi. Chegaraviy shartlari tenglamalar ko'rinishida bo'lgan masalalar. Nomalumlarni yo'qotish usuli. Deylik, n o'lchovli Yevklid fazosi En da f(X),g1(X),,gm(X) funksiyalar berilgan bulsin. quyidagi g1(X)0 g2(X)0 gm(X)0 shartlarnig barchasini kanoatlantiruvchi X=( x1,x2,,xn) vektorlarni joiz vektorlar, eki qisqacha qilib joiz nuqtalar deb ataymiz. Barcha joiz nuqtalar ichidan f(X) funksiyaga ekstremal qiymat beruvchi nuqtani topish masalasini shartli ekstremum masalasi deb ataymiz. Masala simvolik ko'rinishda kuyidagicha eziladi: f(X)min(max) (1) gi(X)0, (2) Bu yerda gi(x)0, , munosabatlar qo'yilgan shartlarni ifodalaydi. Shu sababli mos masalaga shartli ekstremum masalasi deb ataladi. Agar masalada i=0 bulsa, yani (2) kabi eki boshqacha shartlar kuyilmasa, mos masalaga shartsiz ekstremum masalasi deyiladi va bunday masalalar matematik analiz kursida etarli darajada urganilgan. Biz bu yerda asosiy etiborni shartli ekstremum masalasiga karatimiz. yuqorida baen etilgan (1)-(2) masala berilgan f(X) va gi(X), funksiyalarning tabiatiga karab, turlicha nomlanadi va tadbiq etiladi. Agar funksiyalardan kamida bittasi chiziqsiz bulsa, masala chiziqsiz programmalashtirish masalasi deb ataladi. Shunga o'xshash chiziqli programmalashtirish, kvadratik programmalashtirish, kavarik programmalashtirish kabi kator masalalarni keltirish mumkin. Biz kuyida, min f(X)=max (-f(x)) ekanligini etiborga olib, masalani minimum terminida urganamiz, yani quyidagi masalani karaymiz: f(X) min (3) gi(X)0, (4) Odatda (3)-(4) masalani shartlari tengsizlik tarzida bo'lgan shartli ekstremum masalasi deb ataladi. Birok bu masalani erdamchi o'zgaruvchilar kiritish yo'li bilan tenglik tipidagi masalaga keltirish mumkin: f(x) min (5) gi(x)+xn+i=0, (6) Bu yerda xn+i, - qo'shimcha o'zgaruvchilar deb ataladi. Shu sababli, umumiyatga ziyon etkazmasdan, bundan buyon quyidagi shartlari tenglik tarzida bo'lgan masalani urganamiz: f(x) min (7) gi(x)=0, (8) ta'rif: yuqoridagi (7),(8) masalada f(x) funksiyaga minimum qiymat beruvchi X0 joiz nuqta masalaning yechimi deb ataladi, yani: f(X0) min f(x) (7) gi(X)=0, (8) Umuman olganda bunday shartli minimum nuqta mutlok (global) shartli minimum nuqta deyiladi. Shunga o'xshash nisbiy (lokal) shartli minimum nuqtani xam ta'riflash mumkin. ta'rif. Biror etarli 0 berilganda X0 ning atrofidan olingan barcha X joiz nuqtalar uchun f(X0) f(X) shart bajarilsa, X0-nisbiy (lokal) shartli minimum nuqta deb ataladi. Agar (7),(8) masalada f(x) va gi(x) funksiyalarning tabiati haqida ma'lumotlar kancha ko'p bulsa, masalani yechish imkoniyati xam shuncha kengayib boradi. Biz, f(x) va gi(x) larni uzluksiz differensiallanuvchi deb faraz qilib, masalani yechishnig klassik usullaridan birini baen kilamiz. Masalani nomalumlarni yo'qotish usuli bilan yechish. Agar urganilaetgan (7),(8) masalada (9) bulsa, lokal minimum X0ni kuyidagicha topish mumkin. Malumki, agar (9) shart bajarilsa, oshkormas funksiyaning mavjudligi haqidagi teoremaga ko'ra, gi(X)=0, , munosabatdan, X0 nuqta atrofida o'zgaruvchilardan m tasini kolganlari orqali ifodalash mumkin. Aniklik ...