Oddiy differensial tenglamalarni yechishning Eyler va Runge-Kutte usullari

Oddiy differensial tenglamalarni yechishning eyler va Runge-Kutte usullari Reja: Diferentsial tenglamalarning turli sinflari Diferentsial tenglamalarni yechish usullari Eyler usuli .Usulning geometrik manosi Runge-Kutte usulining ishchi formulalari Malumki, kupincha amaliy masalalarni yechishda, dastlab uning matematik modeli fizik, mexanik, kimyoviy va boshqa qonuniyatlar asosida tuziladi. Matematik model asosan algebraik, differensial, integral va boshqa tenglamalardan iborat bo'ladi. Oddiy differensial tenglamalar esa juda ko'p muhandislik masalalarini yechishda uchraydi. Demak, differensial tenglamalarning malum shartlarni kanoatlantiruvchi yechimlarini topish katta ahamiyatga ega. differensial tenglamalar ikkita asosiy sinfga bulinadi: oddiy differensial tenglamalar va xususiy hosilali differensial tenglamalar. Xususiy hosilali differensial tenlamalarga keyinrok batafsil tuxtalamiz. Oddiy differensial tenglamalarda fakat bir o'zgaruvchiga bog'liq funksiya va uning hosilalari katnashadi, yani (1) (1) tenglamada katnashuvchi hosilalarning eng yuqori tartibi differensial tenglamalarning tartibi deyiladi. Agar tenglama izlanuvchi funksiya va uning hosilalariga nisbatan chiziqli bulsa, unga chiziqli differensial tenglama deyiladi. differensial tenglamaning umumiy yechimi deb, uni ayniyatga aylantiruvchi va n ta uzgarmaslarga bog'liq ixtiyoriy funksiyaga aytiladi. Masalan (1) tenglamaning umumiy yechimi ko'rinishdagi funksiyalardan iborat . Agar uzgarmaslarga muayyan qiymatlar berilsa, umumiy yechimdan xususiy yechim hosil kilinadi. Xususiy yechimni topish uchun uzgarmaslarning mos qiymatlarini aniqlash lozim. Buning uchun esa yechimni kanoatlantiruvchi qo'shimcha shartlarga ega bo'lishimiz kerak. Agar differensial tenglama n-tartibli bulsa, yagona xususiy yechimni topish uchun xuddi shuncha qo'shimcha shartlar kerak. Xususan, 1-tartibli tenglama ( ) ning umumiy yechimi dagi s uzgarmasni topish uchun 1 ta qo'shimcha shartning berilishi kifoya. qo'shimcha shartlar berilishiga ko'ra differensial tenglamalar uchun 2 xil masala kuyiladi: Koshi masalasi Chegaraviy masala. Agar qo'shimcha shartlar bitta nuqtada berilsa, differensial tenglamani yechish uchun qo'yilgan masala Koshi masalasi deyiladi. Koshi masalasidagi qo'shimcha shartlar boshlang'ich shartlar, nuqta esa boshlang'ich nuqta deb ataladi. Oddiy differensial tenglamalarni yechishning chizma, analitik, takribiy va sonli yechish usullari mavjud. Analitik usullarda differensial tenglamaning yechimlari aniq formulalar orqali aniklanadi. Takribiy usullarda differensial tenglama va qo'shimcha shartlar u yoki bu darajada soddalashtirilib, masala osonrok masalaga keltiriladi. Sonli usullarda esa yechim analitik shaklda emas, balki sonlar jadvali ko'rinishida olinadi. Albatta bunda differensial tenglamalar oldin diskret tenglamalar bilan almashtirib olinadi. Natijada sonli usullar vositasida olingan yechim xam takribiy bo'ladi. Umuman olganda, oddiy differensial tenglamalarning yechimlarini analitik usul yordamida topish imkoni juda kam bo'lganligi uchun, amalda kupincha ularni sonli usullar yordamida takribiy hisoblanadi. kuyida shunday usullardan Eyler va Runge-Kutta usullarini ko'rib chiqamiz. Eyler usuli Bizga quyidagi birinchi tartibli differensial tenglama(Koshi masalasi)ni (2) oralikdagi boshlang'ich shartni kanoatlantiruvchi yechimini topish lozim bulsin. Koshi masalasini Eyler usuli yordamida yechish uchun, dastlab differensial tenglamaning yechimi kidiriladigan kesmani tugun nuqtalar ...