Shartsiz optimallashtirish haqida ayrim tushunchalar. Shartsiz optimallashtirish masalasi

Shartsiz optimallashtirish haqida ayrim tushunchalar.Shartsiz optimallashtirish masalasi Reja: Shartsiz optimallashtirish masalasining qo'yilishi. Statsionar nuqta tushunchasi. Gesse matritsasi va uning ekstremal nuqtani aniqlashdagi roli. Egar nuqta tushunchasi Bir argumentli funksiya uchun ekstremum mavjudliginin etarlilik shartlari. Funksiya ekstremumini topishga misol. Lagranj ko'paytuvchilar usuli. Shartsiz ekstremum masalasining yechimini topish talab qilingan bo'lsin, yani: f(X) = f(x1, x2,, xn) funksiyaning maksimumini (minimumini)X=(x1, x2,, xn) Yen nuqtalarda qidirish mumkin bo'lsin f(X) funksiya birinchi tartibli hosilalari bilan birgalikda uzluksiz bo'lsa, uning ekstremumi quyidagi sistemani qanoatlantiradi: (1) Demak, berilgan f(X) funksiya X0 nuqtada ekstremumga ega bo'lishi uchun bu nuqta (1) sistemaning yechimi bo'lishi kerak: (2) (2) tengliklar X0 nuqtada f(X0) funksiya lokal maksimum yoki minimumga ega bo'lsa, shu nuqtada undan n ta x1,x2,,xn nomalumlar bo'yicha olingan xususiy hosilalar 0 ga teng bo'lish kerakligini ko'rsatadi. Lekin bundan (1) shartni qanoatlantiruvchi har qanday nuqta ham funksiyaga lokal maksimum yoki minimum qiymat beradi degan xulosa kelib chiqmaydi. (1) sistemasining yechimlarini statsionar nuqtalar deb ataymiz. Berilgan f(X) funksiya ekstremumga erishadigan nuqta statsionar nuqta bo'ladi, lekin har qanday statsionar nuqtada ham funksiya ekstremumga erishavermaydi. Demak, (1) shart funksiya ekstremumining mavjudligi uchun zaruriy shart, lekin u etarli emas. Quyidagi teorema statsionar nuqtaning birinchi va ikkinchi tartibli xususiy hosilalari uzluksiz bo'lgan n o'zgaruvchili uzluksiz f(X)=f(x1,x2,,xn) funksiyaning ekstremal nuqtasi bo'lishi uchun etarli shartni ko'rsatadi. Teoremani isbotsiz keltiramiz. Teorema: X0 statsionar nuqta ekstremal nuqta bo'lishi uchun shu nuqtada quyidagi Gesse matritsasi deb ataluvchi matritsa musbat aniqlangan (bu holda X0-minimum nuqta), yoki manfiy aniqlangan (bu holda X0-maksimum nuqta) bo'lishi etarlidir. Demak, X0 statsianar nuqta minimum nuqta bo'lishi uchun shu nuqtadagi Gesse matritsasi musbat aniqlangan bo'lishi etarli ekan. Xuddi shunday yo'l bilan X0 statsionar nuqtaning maksimum nuqta bo'lishi uchun H[X0] ning manfiy aniqlangan bo'lishi etarli ekanligi ko'rsatish mumkin. 1-misol. Berilgan funksiyaga ekstremal qiymat nuqtalari topilsin. yechimi: funksiya ekstremumi mavjudligining zaruriy sharti: Bundan Bu tenglamadan tuzilgan sistema yechimi X0=(12,23,43) statsionar nuqta bo'ladi. Yetarlilik shartining bajarilishini tekshirish uchun Gesse matritsasini X0 nuqtada tuzamiz: Bu matritsaning bosh minorlari mos ravishda - 2, 4, - 6. Malumki, agar matritsaning bosh minorlaridan tuzilgan sonlar ketma-ketligi ishora almashinuvchi bo'lsa, berilgan matritsa manfiy aniqlangan bo'ladi. Demak, X0 nuqtada f(x1,x2,x3) funksiya maksimumga erishadi. Masalan, yuqorida ko'rilgan misoldagi f(x1,x2,x3)ni - f(x1,x2,x3)ga almashtirib, X0=(12, 23, 43) nuqtani minimum nuqta ekanligini ko'rsatish mumkin. Agar H[X0] noaniq matritsa bo'lsa, X0 nuqta egar nuqta bo'ladi, yani bu nuqtada funksiya ekstremumga erishmaydi. 2-misol. funksiyaning ekstremumi topilsin. Ekstremum mavjudligining zaruriy shartiga ko'ra: Bu tenglamalardan tuzilgan sistemani echib, X0=(0,0) statsionar nuqtani hosil qilamiz. Endi ...