Variatsion toifadagi integral munosabatlar

Variatsion toifadagi integral munosabatlar Reja: Tayanch ta'riflar Operatorning simmetrikligi va musbat aniqlanganligi yechimning yagonalik teoremasi Chegaraviy masaladan variatsion masalaga o'tish yechimning mavjudligi va yagonaligi Variatsion toifadagi integral munosabatlar uchun tayanch ta'riflar: Odatda tabiatda yuz beradigan fizik va mexanik jarayonlarni integral munosabat ko'rinishda (masalan, energiyaning saqlanish qonuni, mumkin bo'lgan ko'chishlar prinsipi va boshqalar) ifodalash mumkin, chunki u jarayonni to'liqroq; o'rganishga imkon beradi. Shuning uchun ham hozirgi kunda zamonaviy hisoblangan chekli elementlar usuli (ChEU) hamda chegaraviy elementlar usullarining (ChGEU) integral munosabatlarga asoslanganligi bejis emas. Integral munosabatlarni variatsion va proeksion kabi toifalarga ajratish mumkin. Yuqorida zikr etilgan ChEU va ChGEU usullarining asosini mos ravishda variatsion hamda proeksion integral munosabatlar tashkil qiladi. Endi biz birinchi toifaga tegishli munosabatlar, yani berilgan chegaraviy masalalarni ularga mos bo'lgan variatsion masalaga almashtirish bilan shug'ullanamiz. Shu munosabat bilan avval quyidagi zaruriy tushuncha va ta'riflarni eslatib o'tamiz. ta'rif-1: Agar bo'lsa, u holda normallangan x fazoda berilgan [ip ketma-ketlik fundamental deyiladi. ta'rif-2: Normallangan metrik fazo X to'la deyiladi, agar ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik bu fazoda yaqinlashuvchi bo'lsa. ta'rif-3: Normallangan to'la fazo Banax fazosi deyiladi. ta'rif-4: Agar Banax fazosida norma skalyar ko'paytma yordamida hosil qilingan bo'lsa, u Gilbert N fazosi deyiladi . ta'rif-5: Chiziqli fazoga tegishli bo'lgan M to'plam lineal (yoki chiziqli to'plam) deyiladi, agar va o'zgarmaslar uchun bo'lsa. ta'rif-6: to'plam Gilbert fazosida zich to'plam deyiladi, agar Gilbert fazosiga tegishli elementni to'plamga tegishli ip ketma-ketlikning limiti sifatida olish mumkin bo'lsa. Chiziqli operator a berilgan bo'lib, Gilbert N fazosida zich bo'lgan Da linealda aniqlangan bo'lsin. ta'rif-7: linealni N ga akslantiruvchi a operator simmetrik deyiladi, agar uchun quyidagi tenglik o'rinli bo'lsa, . ta'rif-8: N da zich bo'lgan DA -linealda aniqlangan a operator musbat deyiladi, agar u simmetrik va ushbu tengsizlik o'rinli bo'lsa, . ta'rif-9: a operator musbat aniqlangan deyiladi, agar quyidagi tengsizlik o'rinli bo'lsa, , bu yerda -o'zgarmas kattalik. Operatorning simmetrikligi va musbat aniqlanganligi: [0,1] kesmada berilgan quyidagi chegaraviy masala qaralayotgan bo'lsin:  (1.1) (1.2) bu masalaga mos keluvchi operatorning simmetrikligi va musbat aniqlanganligi ko'rsatilsin. yechimni kvadrati bilan integrallanuvchi funksiyalar fazosi L2 dan izlaymiz: (1.3) [0,1] oraliqla birinchi va ikkinchi tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo'lgan va chegarada nolga teng bo'lgan funksiyalar to'plami DA da aniqlangan operatordir. DA to'plam N fazoda zich. U shbu skalyar ko'paytmani qaraymiz: (1.4) bu ifoda A operatorning simmetrikligini ifodalaydi. Oxirgi ifodaga v=u ni qo'yib a operatorning musbatligini ko'rsatish mumkin: (1.5) Endi a operatorning musbat aniqlanganligini ko'rsatamiz. Buning uchun ushbu yordamchi ifodani (1.6) Koshi-Bunyakovsqiy tengsizlikni qo'llab, quyidagi ko'rinishga keltiramiz: (1.7) (1.7) ifodaning ...