Эконометрика слайд

(7.1) Наилучшая линейная процедура получения оценок параметров уравнения (7.1) и условия, при которых эта процедура дает несмещенные и эффективные оценки, сформулирована в теореме Гаусса-Маркова Карл Фридрих Гаусс Время жизни 30.04.177 - 23.02.1855 Научная сфера - математика, физика, астрономия Андрей Андреевич Марков Время жизни 14.06.1856 - 20.07.1922 Научная сфера - математика Постановка задачи: Имеем случайную выборку наблюдений за поведением экономического объекта объемом n Выборка наблюдений за переменными модели (7.1) Первый индекс - номер регрессора Второй индекс - номер наблюдения (7.2) - Система уравнений наблюдений, связывающая наблюдения в выборке (7.2) Сформируем вектора и матрицу коэффициентов на основе системы (7.2) Y - вектор выборочных значений эндогенной переменной U - вектор выборочных значений случайного возмущения A - вектор неизвестных параметров модели х - вектор регрессоров X - матрица коэффициентов при неизвестных параметрах По данным выборки найти: Ã, Cov(ÃÃ), σu, σ(ỹ(z)) Теорема (Гаусса - Маркова) Если матрица Х неколлинеарна и вектор случайных возмущений удовлетворяет следующим требованиям: Математическое ожидание всех случайных возмущений равно нулю Дисперсия случайных возмущений постоянна во всех наблюдениях (условие ГОМОСКЕДАСТИЧНОСТИ) Случайные возмущения в разных наблюдениях не зависимы Случайные возмущения и регрессоры не зависимы Тогда наилучшей линейной процедурой оценки параметров модели (7.1) является: (7.3) которая удовлетворяет методу наименьших квадратов При этом: Доказательство Воспользуемся методом наименьших квадратов где (7.4) (7.5) Подставив (7.5) в (7.4) получим (7.6) Для получения необходимого условия экстремума дифференцируем (7.6) по вектору параметров Откуда система нормальных уравнений для определения искомых параметров получает вид (7.7) Решение системы (7.7) в матричном виде есть Выражение (7.3) доказано Докажем несмещенность оценок (7.3) Несмещенность оценки (7.3) доказана Вычислим ковариационную матрицу оценок (7.3) В результате получено выражение (7.4) Пример 1. Пусть имеем выборку из n наблюдений за случайной величиной Y Найти наилучшие оценки среднего значения и дисперсии этой переменной В терминах теоремы Гаусса -Маркова задача формулируется так: необходимо построить модель типа Y = a0 +u, при этом имеем: Решение 1. Вычисляем (XTX)-1 2. Вычисляем (XTY) 3. Вычисляем оценку параметра а0 4. Находим дисперсию среднего Пример 2. Уравнение парной регрессии Построить модель типа Y=a0+a1x +u, по данным вы-борки наблюдений за переменными Y и x объемом n В схеме Гаусса-Маркова имеем: 1. Вычисляем матрицы (XTX) и (XTX)-1 2. Вычисляем XTY 3. Вычисляем оценку вектора параметров а Вычислим дисперсии (ковариационную матрицу) параметров модели Следовательно: Расчет дисперсии прогнозирования Прогноз осуществляется в точке Z=1,zТ Процедура «ЛИНЕЙН» в приложении EXCEL Алгоритм использования процедуры: Подготовка таблицы исходных данных 2. Вызов процедуры «ЛИНЕЙН» 3. Ввод исходных данных в процедуру 4. Анализ результата Рассмотрим алгоритм на примере ...