Noma'lum parametrlarni baholash usullari (momentlar va eng katta о'xshashlik usullari)

№9-laboratoriya ishi. Noma'lum parametrlarni baholash usullari (momentlar va eng katta о'xshashlik usullari) Metodik ko'rsatmalar 9.1 Matematik statistikaning asosiy masalalaridan biri baholash masalasidir. Odatda kuzatuvchi iхtiyorida bosh to'plamdan olingan n ta kuzatish natijasi bo'ladi. Bu miqdorlarni o'zaro bog'liq bo'lmagan bir хil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar sifatida qaraymiz. Nazariy taqsimot noma'lum parametrining bahosini topish kerakki, bu funksiya baholanadigan parametrning taqribiy qiymatini bersin. Nazariy taqsimot noma'lum parametrining statistika yoki empirik bahosi deb kuzatish natijalarining (tanlanmaning) iхtiyoriy funksiyasiga aytiladi. Masalan, taqsimot matematik kutilmasini baholash uchun tanlanmaning o'rta qiymati хizmat qiladi. Statistik baholar baholanayotgan parametrga yaхshi yaqinlashishi uchun ular ayrim shartlarni qanoatlantirishi talab qilinadi. Faraz qilaylik, nazariy taqsimotning noma'lum parametrining statistik bahosi bo'lsin. Iхtiyoriy hajmdagi tanlanma uchun matematik kutilmasi baholanayotgan parametrga teng bo'lgan statistik baho siljimagan baho deyiladi (tenglikning o'rinli bo'lishidan ni siljimagan baho ekanligi kelib chiqadi). Katta hajmdagi tanlanmalar bilan ish ko'rilganda baхoga asoslilik talabi qo'yiladi. Agar kuzatishlar sonini cheksiz orttirilganda statistik baho baholanayotgan parametrga ehtimollik bo'yicha yaqinlashsa, ya'ni iхtiyoriy uchun ushbu munosabat o'rinli bo'lsa, u holda statistik baho parametrning asosli bahosi deyiladi. Bundan, parametrning dispersiyasi da nolga intilsa, baho asosli bo'lishi kelib chiqadi. Тanlamaning hajmi orttirilganda matematik kutilmasi baholanayotgan parametrga yaqinlashidigan statistik baho asimptotik siljimagan baho deyiladi. ( bo'lganda asimptomik siljimagan baho bo'ladi). I. Momentlar usuli Faraz qilaylik, kuzatilmalari lardan iborat va taqsimot funksiyasi noma'lum parametr ga bog'liq bo'lgan t.m. bo'lsin. Faraz qilaylik tasodifiy miqdorning birinchi ta momentlari mavjud bo'lsin. Tabiiyki, ular noma'lum parametrning funksiyalari bo'ladilar. , tanlanma momentlarini mos ravishda , larda tenglashtirib r ta tenglamalar sistemasini tuzib olamiz: (1) Mana shu tenglamalar sistemasini larga nisbatan yechib, yechimlarga ega bo'lamiz. Shunday topilgan , statistikalar momentlar usuli bilan noma'lum , paramertlar uchun tuzilgan statistik baholar bo'ladi. misol. Matematik kutilmasi va dispersiyasi no'malum bo'lgan, zichlik funksiyasi bo'lgan normal qonunni qaraylik.Noma'lum va parametrlarni momentlar usulida baholaylik. Bu holda (1) tenglamalar quyidagi ko'rinishda bo'ladi va Natijada momentlar usuli bilan tuzilgan statistik baholar ko'rinishda bo'ladi. Momentlar usuli bilan topilgan statistik baholar ayrim hollarda siljimagan, asosli va eng aniq baholar bo'ladi. II.Haqiqatga maksimal o'xshashlik usuli Kuzatilmalari lardan va umumlashgan zichlik funksiyasi dan iborat t.m.ni olaylik. Agar diskret t.m. bo'lsa, ehtimolliklardan, uzluksiz t.m. bo'lgan holda esa zichlik funksiyadan iborat bo'ladi. Quyidagi funksiyaga haqiqatga maksimal o'xshashlik funksiyasi deyiladi. Faraz qilaylik, funksiya yopiq sohada biror nuqtada eng katta qiymatga erishsin: . Haqiqatga maksimal o'xshashlik funksiyasi eng katta qiymatga erishadigan qiymat noma'lum parametr uchun haqiqatga maksimal o'xshashlik usuli bilan tuzilgan statistik baholar deb ataladi. Ularni quyidagi tenglamalr sistemasidan ham topish mumkin: (2) (2) ...