To'plam elementlarining soni bilan bog'liq ayrim masalalar

2 - Mavzu: To'plam elementlarining soni bilan bog'liq ayrim masalalar To'plamlar nazariyasining muhim qoidalaridan biri - jamlash qoidasidir. Bu qoida kesishmaydigan to'plamlar birlashmasidagi elementlar sonini topish imkonini beradi. 1- t e o r e m a (jamlash qoidasi). Kesishmaydigan Ava B chekli to'plamlarning (5- rasm) birlashmasidagi elementlar soni A va B to'plamlar elementlari sonlarining yig'indisiga teng: n(A ∪ B)  n(A)  n(B). I s b o t. n(A)  k, n(B )  m bo'lib, A to'plam a , a , , a elementlardan, B 1 2 k to'plam esa b , b , , b elementlardan tashkil topgan bo'lsin. 1 2 m Agar A va B to'plamlar kesishmasa, ularning birlashmasi a , a , , a , b , b , , 1 2 k 1 2 b elementlardan tashkil topadi: m A ∪ B  a , a , , a , b , b , , b . 1 2 k 1 2 m Bu to'plamda k  m ta element mavjud, ya'ni n(A ∪ B )  k  m  n(A)  n(B ). B B B(A ∩B) A A∩B A A(A ∩B) 5-rasm. 6-rasm. Xuddi shu kabi, chekli sondagi A, B, , F juft-jufti bilan kesishmaydigan to'plamlar uchun quyidagi tenglik to'g'riligini isbotlash mumkin: ∪ ∪ ∪ n(A B F)  n(A)  n(B)  n(F). 2- t eo r e ma . Ixtiyoriy A va B chekli to'plamlar uchun ushbu tenglik o'rinli: n(A∪B)  n(A)  n(B)  n(A∩B). (1) Is b o t. Agar A ∩ B   bo'lsa, n(A ∩ B)  0 bo'lib, 1- teo- remaga ko'ra (1) tenglik o'rinli. Agar A ∩ B   bo'lsa, u holda A ∪ B to'plamni uchta juft-jufti bilan kesishmaydigan to'plamlarning birlashmasi ko'rinishida tasvirlash mumkin (6- rasm): ∪ ∪ ∪ A B  (A(A∩B )) (B (A∩B )) (A∩B). (2) A (A B ), B (A B ) va A B to'plamlardagi elementlari soni mos ravishda n(A )  n (A B ), ∩ ∩ ∩ ∩ n (B )  n (A B ), n (A B ) gateng. ∩ ∩ Jamlash qoidasiga ko'ra, (2) tenglikdan n ( A ∪ B )  ( n ( A)  n ( A ∩ B ))  ( n ( B )  n ( A ∩B ))  n(A ∩ B)  n(A)  n(B)  n(A ∩ B), ya'ni ...