Основные типы и методы решения тригонометрических уравнений

Эрматова Махбуба Мухамедовна 13-УРОК: АЛГЕБРА 2 КУРС Основные типы и методы решения тригонометрических уравнений РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Виды тригонометрических уравнений 1.Сводимые к квадратным Решаются методом введения новой переменной a∙sin²x + b∙sinx + c=0 Пусть sinx = p, где |p| ≤1, тогда a∙p² + b∙p + c = 0 Найти корни, вернуться к замене и решить простые уравнения. Виды тригонометрических уравнений 2.Однородные 1)Первой степени: Решаются делением на cos х (или sinx) и методом введения новой переменной. a∙sinx + b∙cosx = 0 Т.к. sinx и cosx одновременно не равны нулю, то разделим обе части уравнения на cosx (или на sinx). Получим: простое уравнение a∙tgx + b = 0 или tgx = m Пример. Решите уравнение sinx + 2cosx = 0. Решение: Разделим обе части уравнения на cosx. Получим sin x cosx 2 0 cosx cosx tgx20 tgx2 x arctg2k, k arctg2k, k Ответ: Виды тригонометрических уравнений 2) Однородные уравнения второй степени: Решаются делением на cos² х (или sin²x) и методом введения новой переменной. a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0 Разделим обе части на cos²x. Получим квадратное уравнение: a∙tg²x + b∙tgx + c = 0. Пример. Решитьуравнение: 3sin2x+4sinx·cosx+5cos2x=2. Решение. 3sin2x+4sinx·cosx+5cos2x=2sin2x+2cos2x, sin2x+4sinx·cosx+3cos2x=0, tg2x+4tgx+3=0, отсюда y2+4y+3=0, корниэтогоуравнения: y =1, y =3, отсюда 1 2 1) tgx=-1, 2) tgx=-3,   k,k; arctg3n,n 4 Ответ: Виды тригонометрических уравнений 3. Уравнение вида: А sinx + B cosx = C. А, В, С  0 sinx+cosx= 1 . Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево: sinx+ cosx-1 = 0 , Виды тригонометрических уравнений 4. Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки А sinx + B cosx = C Решаются с помощью введения вспомогательного аргумента. Проверка При переходе от уравнения (1) к Если , уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, -не верно, значит , не является корнями являются ли корни исходного уравнения уравнения корнями данного уровнения. Ответ: Формулы. Универсальная подстановка. x x x х + 2n; 2tg 1-tg2 2tg 2 sinx  2 ; cosx  2 ; tgx  ; Проверка x x x 1tg2 1tg2 1tg2 обязательна! 2 2 2 Понижение степени. cos2x = (1 + cos2x ) : 2 sin2x = (1 - cos 2x) : 2 Метод вспомогательного аргумента. a cosx +b sinx заменим на C sin(x+), где С  a2 b2 ; а b sin = ; cos = ;  - вспомогательный аргумент. С С Правила. Увидел квадрат - понижай степень. Увидел ...