Uchburchakdagi ajoyib nuqtalar

6 - Mavzu: Uchburchakdagi ajoyib nuqtalar 1 - t e o r e m a Uchburchakning medianalari bitta nuqtada kesishadi va kesishish nuqtasida uchdan hisoblaganda 2:1 kabi nisbatda bo'linadi. I s b o t i . M nuqta AC tomonning o'rtasi, N nuqta BC tomonning o'rtasi bo'lsin deb faraz qilamiz, ya'ni MA = MC, NB = NC (37-rasm). N nuqta B va C nuqtalar orasida yotganligidan, B va C nuqtalar AN to'g'ri chiziqdan turli tomonlarda yotadi. AN va AC to'g'ri chiziqlar uchun A nuqta umumiy, demak, ularning boshqa umumiy nuqtalari bo'lishi mumkin emas. Shuning uchun AC to'g'ri chiziqda yotuvchi M nuqta va B nuqta AN to'g'ri chiziqdan turli tomonlarda yotadi. Natijada AN va BM medianalar biror O nuqtada kesishadi. Modomiki, M va N, mos ravishda, AC va BC tomonlarning o'rtalaridan iborat ekan, MN kesma ∆ABC ning o'rta chizig'i bo'ladi va MN AB. Ikkita o'zaro parallel AB va MN to'g'ri chiziqlar AN va BM to'g'ri chiziqlar bilan kesilgan. U vaqtda hosil bo'lgan ichki almashinuvchi burchaklar o'zaro teng: ∠BAN = ∠ANM, ∠ABM =∠BMN Endi ∆ABO da ikkita burchak ∆MON ning mos burchaklariga tengligidan, ular o'xshash bo'ladi, ya'ni ∆ABO ∆MON, ularning mos tomonlari proporsional: Shunday qilib,AN va BM medianalar kesishish nuqtasi O da nisbatda bo'linadi. BO va CO bissektrisalarni qarab chiqib, ular ham О kesishish nuqtasida nisbatda bo'linishiniolamiz. 1 - t e o r e m a 2 - t e o r e m a Uchburchakning hamma balandliklari bitta nuqtada kesishadi. I s b o t i . Berilgan uchburchakning A, B, C uchlaridan uning qarama-qarshi tomonlariga parallel A2C2 AC, A1B1 AB, B1C1 BC to'g'ri chiziqlarni o'tkazamiz. Bu to'g'ri chiziqlarning o'zaro kesishishi natijasida A1B1C1 hosil bo'ladi (38-rasm). Yasashga ko'ra C1B AC, C1A BC, A1C AB, BA1 AC. Shunday qilib, AC1BC va ABA1C to'rtburchaklar parallelogramm va C1B = AC, BA1 = AC, BA1 AC. Bundan C1B = BA1 bo'lishini, ya'ni B nuqta A1C1 kesmaning o'rtasi ekanligini olamiz. Shunga o'xshash, A va C nuqtalar, mos ravishda, B1C1 va A1B1 tomonlarning o'rtalari bo'lishini ko'rsatish mumkin. ABC uchburchakning B uchidan BN balandlik o'tkazamiz. Lekin A1B1C1 da BN balandlik uning A1C1 tomoniga o'tkazilgan o'rta perpendikulardir. Shunga o'xshash, CK va MA balandliklar, mos ravishda, A1B1 va B1C1 tomonlarga o'rta perpendikularlardan iborat. Har qanday uchburchakda o'rta perpendikularlar bitta nuqtada kesishganligidan, MA, NB va KC balandliklarning bitta O nuqtada kesishishi kelib chiqadi. 2 - t e o r e m a 1 - t a ' r i f . ...