Furye qatori va uning tatbiqlari

Furye qatori va uning tatbiqlari Reja. 1. Toq va juft funksiyalarni Furye qatoriga yoyish. 2. Ixtiyoriy davrli funksiya uchun Furye qatori. 1. Toq va juft funksiyalarni Furye qatori Bizga davri T = 2π bo'lgan funksiya berilgan bo'lsin, ya'ni f (x + 2π) f (x). Berilgan funksiyaning Furye qatori va koeffitsiyentlari quyidagicha edi: Quyida biz juft va toq funksiyalarning Furye qatori Agar f (x) funksiya [-a; a] da integrallanuvchi bo'lsa, u holda Ikkinchi integralda x ni -x ga almashtirish bajarib, (5) ga qo'yamiz: , f(x) funksiya toq bo'lsa, f (x) funksiya juft bolsa, ya'ni Ikkita juft funksiyalarning yoki ikkita toq funksiyalarning ko'paytmasi juft funksiya, juft va toq funksiyalarning ko'paytmasi toq funksiya ekanligini va (7) ni e'tiborga olgan holda juft va toq funksiyalarning Furye qatori koeffitsiyentlarini hisoblaymiz. f (x) funksiya davri T = 2π bolgan, [-π, π] da Dirixle shartlarini qanoatlantiradigan juft funksiya bo lsin. Juft funksiya uchun Furye qatori faqat kosinuslardan iborat, bk = 0. f (x) funksiya davri T = 2π bolgan, [-π, π] da Dirixle shartlarini qanoatlantiradigan toq funksiya bo lsin. 2. Ixtiyoriy davrli funksiya uchun Furye qatori. Endi ixtiyoriy 2l davrli, Dirixle shartlarini qanoatlantiruvchi f(x) funksiyani qaraymiz. o'rniga qo'yish bizni funksiyaga olib keladi, bu funksiyani Furye qatoriga yoyamiz: bu yerda , , Qatorda va Furye koeffitsentlari formulalarida yangi t o'zgaruvchidan eski x o'zgaruvchiga qaytib va , ekanini hisobga olib, quyidagiga ega bo'lamiz: (1) bu yerda (2) Koeffitsentlari (2) formulalari bilan aniqlanadigan (1) gator ixtiyoriy 21 davrli f(x) funksiya uchun Furye qatori deyiladi. 21 davrli juft funksiya uchun hamma bk = 0 bo'ladi, demak Furye qatori faqat kosinuslarni o'z ichiga oladi: bu yerda 21 davrli toq funksiya uchun esa hamma ak = 0 va a0 = 0 bo'ladi, demak, Furye qatori faqat sinuslarni o'z ichiga oladi: bu yerda Ko'pincha [0,l] kesmada (yarim davrda) berilgan f(x) funksiyani sinuslar bo'yicha yoki kosinuslar bo'yicha yoyish masalasi talab etiladi. f(x) funksiyani kosinuslar. bo'yicha qatorga yoyish uchun funksiya juftligicha kesmadan [-1,0] kesmaga davom ettiriladi. U holda «davom ettirilgan» juft funksiya uchun Furye qatori faqat kosinuslarni o'z ichiga oladi. Agar f(x) funksiyani qatoriga sinuslar bo'yicha yoyishni istasak, u holda funksiyani toqligicha [0,l] kesmadan [-l,0] kesmagacha davom ettiramiz, bunda f (x) = 0 deb olishimiz kerak. «Davom ettirilgan» toq funksiya uchun Furye qatori faqat sinuslarni o'z ichiga oladi. Aslida kesmadan-kesmaga davom ettirishni amalga oshirmasa ham bo'ladi, chunki Furye koeffisentlarini hisoblash formulalaridan juft yoki toq funksiya holida f (x) funksiyaning [0,1] kesmadagi qiymatlari qatnashadi. ...