Ikki argumentli funksiya ekstremumlari. Ikki o'zgaruvchili funksiyaning yopiq sohadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini topish

Ikki argumentli funksiya ekstremumlari. Ikki o'zgaruvchili funksiyaning yopiq sohadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini topish 1. Ikki argumentli funksiya ekstremumi. 1-ta'rif. z  f (x, y) funksiyaning P0 (x0 ; y0 ) nuqtadagi qiymati uning bu nuqtaning biror atrofi istalgan P(x, y) nuqtasidagi qiymatlaridan katta, ya'ni f (x0 ; y0 )  f (x, y) bo'lsa, z  f (x, y) funksiya P0 (x0 ; y0 ) nuqtada maksimumga ega deyiladi. ta'rif. z  f (x, y) funksiyaning P1 (x1; y1 ) nuqtadagi qiymati uning bu nuqtaning biror atrofi istalgan P(x, y) nuqtasidagi qiymatlaridan kichik bo'lsa, ya'ni f (x1; y1 )  f (x, y) bo'lsa, z  f (x, y) funksiya P1 (x1; y1 ) nuqtada minimumga ega deyiladi. Funksiyaning maksimum yoki minimumi uning ekstremumi deyiladi. Funksiya ekstremumga ega bo'lgan nuqta uning ekstremum nuqtasi deyiladi. Funksiya ekstremumini xususiy hosilalar yordamida tekshiriladi. Ekstremumning zaruriy shartlari: funksiyaning ekstremum nuqtasi bo'lsa, f xx0 , y0   0 f y x0 , y0   0 P0 (x0 ; y0 ) nuqtada uzluksiz z  f (x, y) bo'ladi, yoki bu nuqtada hosilalarning hech bo'lmaganda bittasi mavjud bo'lmaydi. Bunday nuqtalarga ekstremum uchun kritik (statsionar) nuqtalar deyiladi. SHuni takidlaymizki hamma kritik nuqtalar ham ekstremum nuqtalar bo'lavermaydi. Kritik nuqtada ekstremum bo'lmasligi ham mumkin. Ekstremumning yetarli shartlari: Ikkinchi tartibli xususiy hosilalarning kritik nuqtadagi qiymatlarini A  f xy x0 , y0 ; B  f xy x0 , y0 ;C  f yy x0 , y0 ; bilan belgilaymiz va   A B B  AC  B2 C ni tuzamiz.   AC  B2  0 bo'lsa, z  f (x, y) funksiya P0 x0 , y0  nuqtada ekstremumga ega bo'lib: 1) A0 bo'lganda minimumga ega bo'ladi. 2.   AC  B2  0 bo'lsa, P0 x0 , y0  nuqtada ekstremum yo'q:   AC  B2  0 bo'lsa, ekstremum bo'lishi ham, bo'lmasligi ham mumkin. misol. z  f (x, y)  x4  y4  2x2  4xy  2y 2 funksiya ekstremumini tekshiring. yechish. Bu funksiya butun XOY tekislikda aniqlagan. Birinchi tartibli xususiy hosilalarni topamiz: f x  4x3  4x  4 y; f y  4y3  4x  4y ekstremumga ega bo'lishning zaruriy shartidan: 4x3  4x  4 y  0 x3  x  y  0 y  x ...