Kasr ratsional va ba'zi irratsional funksiyalarni integrallash. Trigonometrik funksiyalarni integrallash

MAVZU. Kasr ratsional va ba'zi irratsional funksiyalarni integrallash. Trigonometrik funksiyalarni integrallash Eng sodda ratsional kasrlar deb quyidagilarga aytiladi: Bu yerda: A, B, a, p va q lar haqiqiy sonlar bo'lib, Birinchi va ikkinchi turdagi kasrlarni integrallash osongina jadval integrallariga keltiriladi: quyidagi misollarni ko'rib chiqamiz. 1-Misol. . 2-Misol. . 3-Misol. . 4-Misol. . 5-Misol. . 6-Misol. . 7-Misol. Uchinchi turdagi kasrni integrallash uchun kasrning suratiga maxrajning hosil asi yoziladi va ayniy almashtirishlar orqali dan ni hosil qilinadi, ya'ni: U holda: Integrallardan birinchisi ga teng. Ikkinchi integralning maxrajida esa, to'la kvadrat ajratamiz: , bu yerda , chunki shartga ko'ra edi. Demak, ikkinchi integral ham jadval integraliga keladi. Yuqoridagi mulohazalarga asosan: Ta'kidlash joizki, agar yuqorida bo'lsa, suratda maxrajning hosilasini ajratish shart emas, maxrajda darhol to'la kvadrat ajratish lozim. Eslatma: Agar ikkinchi tur kasrning maxrajidagi kvadrat uch had o'rnida kabi kvadrat uch had qatnashganda ham yuqorida bayon etilganlar asosida ish yuritiladi, farqi shuki, bu yerda koeffitsiyent a ni qavsdan tashqariga chiqariladi. 8-Misol. 9-Misol. 10-Misol. 11-Misol. To'rtinchi turdagi kasrni integrallash ham uchinchi turdagi kasrni integrallashga o'xshash olib boriladi: Agar ikkinchi integralda va deb belgilash kiritsak (chunki edi), u integral ni integrallashga keltiriladi va u kabi rekurrent formula bilan hisoblanadi, bu yerda: . Bu formula bo'yicha ni orqali, so'ngra ni orqali ifodalaymiz va hokazo. Bu jarayon ni hosil qilingunicha davom ettiriladi. 12-Misol. hisoblansin. Yuqoridagi rekurrent formulaga binoan, Endi rekurrent formulani ga qo'llaymiz. . Agar ekanligini inobatga olsak, . 13-Misol. Endi ni rekurrent formula yordamida hisoblaymiz: Trigonometrik funksiyalar qatnashgan ifodalarni integrallash. kabi integrallarni hisoblash uchun trigonometrik funksiyalarning ko'paytmalarini yig'indiga keltirish formulalaridan foydalaniladi: quyidagi integrallar hisoblansin: yechimlari. 1. 2. 3. 4. ko'rinishdagi integrallarni hisoblash uchun quyidagi 3 holni qarab qtamiz. 1-hol. Agar m=2k+1 kabi butun musbat toq son bo'lsa, ya'ni integral darajali funksiyalar yig'indisini integrallashga keltirildi. Agar kosinusning darajasi ham butun musbat toq son bo'lsa, yuqoridagiga qxshash usuldan foydalaniladi. Misollar: 2-hol. Agar m+n=-2k (k0 va butun son) bo'lsa, tgx=z yoki ctgx=z kabi almashtirishlar orqali qaralayotgan integral darajali funksiyalarni integrallashga keltiriladi. Bu yerda: tgx=z bo'lsa, bo'lganda larni inobatga olish lozim. Misollar: 3-hol. Agar da m+nq0 bo'lsa (m va n lar butun sonlar), mazkur integral, yoki (m0), yoki (n0) kabi integrallarni integrallashga keltiriladiki, ular mos ravishda tgx=z yoki ctgx=z almashtirishlar orqali hisoblanadi. Misollar: 4. Agar va (n0 - butun son) yoki (m0, n0 - butun sonlar) kabi integrallarni hisoblash lozim bo'lsa, ko'rinishdagi formulalar qo'llaniladi. Mazkur formulalarni qo'llash natijasida integral ishorasi ostidagi trigonometrik funksiyalarning darajalari birmuncha pasayadi. Misollar: 4. Agar faqat ...