Aniq integral

Aniq integral Reja: Aniq integral tushunchasiga olib keladigan masalalar. Egri chiziqli trapesiyaning yuzini topish. Yuqoridan tenglamasi y=f(x) egri chiziq bilan , pastdan OХ o'qi bilan, yon tomonlaridan x=a, x=b to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapesiyaning yuzini toping. Faraz qilaylik kesmada y=f(x) funksiya aniqlangan, uzluksiz va bo'lsin. kesmani nuqtalar bilan n ta bo'lakchalarga bo'lib va bo'linish nuqtalaridan OY o'qiga parallel to'g'ri chiziqlar o'tkazsak natijada acdb egri chiziqli trapesiyamiz n ta kichik egri chiziqli trapesiyalarga (trapesiyachalarga) ajraladi. Butun ya'ni acdb egri chiziqli trapesiyaning yuzi taxminan hamma kichik egri chiziqli trapesiyalar yuzalarining yig'indisiga teng bo'ladi: (1) Agar [xi-1 ,xi ] kesmalar uzunliklarining eng kattasini ya'ni desak, da kesmaning mayda bo'lakchalarga bo'linish soni cheksiz o'sadi, natijada (1) yuza berilgan acdb egri chiziqli trapesiya yuziga cheksiz yaqinlashib boradi. Shuning uchun acdb egri chiziqli trapesiyaning yuzini (2) desak bo'ladi. 2. Kuch ta'sirida bajarilgan ishni hisoblash masalasi. Faraz qilaylik biror D moddiy nuqtaga OХ o'qi yo'nalishida biror o'zgaruvchan F=f(x) kuch ta'sir qilsin. Moddiy D nuqtaning F kuch ta'sirida biror a nuqtadan b nuqtagacha harakatlangandagi bajargan ishini hisoblaylik. o'zgarmas deb qarasak, u holda har bir bo'lakchada bajarilgan ish taxminan bo'ladi. Bu yerda , esa kesmadagi ta'sir etayotgan kuch. U holda da F=f(x) kuch ta'sirida bajarilgan ish taxminan Agar desak va bo'lsa, u holda bajarilgan ish quyidagicha bo'ladi: (3) Juda ko'p texnika, mexanika va fizika masalalarini yechishda (2),(3) ko'rinishdagi yig'indilarning limitini hisoblashga to'g'ri keladi. 2. Aniq integral va uning ta'rifi. y=f(x) funksiya kesmada aniqlangan bo'lsin. ni nuqtalar bilan n ta bo'lakchalarga ajratib va har bir [xi-1 ,xi ] kesmada ixtiyoriy nuqta olib, bu nuqtalardagi f(x) funksiyaning qiymatlarini deylik. [xi-1 ,xi ] kesmalarning uzunliklarini deb belgilab quyidagi ko'paytmalar yig'indisini tuzaylik: (1) ga f(x) funksiyaning kesmadagi integral yig'indisi deyiladi. deylik Ta'rif. Agar da aniqlangan f(x) funksiya uchun tuzilgan (1) integral yig'indi , da ni ixtiyoriy n ta bo'lakchalarga bo'lish usuliga va har bir [xi-1 ,xi ] bo'lakchada ixtiyoriy nuqtani tanlab olish usuliga bog'liq bo'lmagan limitga ega bo'lsa, bu limitga kesmada f(x) funksiyadan olingan aniq integral deyiladi va ko'rinishda yoziladi. Shunday qilib ta'rifga ko'ra (2) a,b-larga mos ravishda integralning quyi va yuqori chegarasi, ga integrallash sohasi deyiladi. Agar f(x) funksiya uchun (2) limit mavjud bo'lsa, f(x) funksiyani kesmada integrallanuvchi funksiya deyiladi. Aniq integralning geometrik ma'nosi yuqoridagi 1-masaladagi egri chiziqli trapesiyaning yuzini beradi: = 2-masalada esa bajarilgan ish F=f(x) kuchdan olingan integralga teng: = 1-teorema. kesmada uzluksiz bo'lgan har qanday f(x) funksiya shu kesmada integrallanuvchi bo'ladi. 2-teorema. f(x) funksiya da integrallanuvchi bo'lishi ...