Boshlang'ich funksiya tushunchasi, Koshining integral formulasi

Boshlang'ich funksiya tushunchasi koshining integral formulasi Reja: Boshlang'ich funksiya tushunchasi Koshining integral formulasi Boshlang'ich funksiya tushunchasi Faraz qilaylik funksiya sohada () aniqlangan bo'lsin. Ta'rif. Agar sohada funksiya shu sohada golomorf bo'lgan F(z) funksiyaning hosilasiga teng bo'lsa, ya'ni bo'lsa, u holda funksiya sohada funksiyaning boshlang'ich funksiyasi deyiladi. Agar sohada funksiya funksiyaning boshlang'ich funksiyasi bo'lsa, +с. (с-ixtiyoriy o'zgarmas son) funksiyaning boshlang'ich funksiyasi bo'ladi. Haqiqatan ham . Teorema: Agar f(z) funksiya bir bog'lamli sohada (Sz) golomorf bo'lsa, u holda f(z) funksiya shu sohada boshlang'ich funksiyaga ega bo'ladi. Isbot: sohada z0 ixtiyoriy z nuqtalarni olib, ularni shu sohada yotuvchi silliq (bo'lakli silliq) chiziq bilan birlashtiramiz. Unda integral z ga bog'liq bo'ladi. Uni F(z) orqali belgilaymiz: . Koshi teoremasining natijasiga ko'ra bu integral integrallash yo'liga bog'liq bo'lmaydi. Binobarin, F(z)funksiya sohada bir qiymatli aniqlanadi. Endi (1) funksiya sohada berilgan f(z) funksiyaning boshlang'ich funksiyasi bo'lishini ko'rsatamiz. z nuqtaga shunday orttirma beraylikki, nuqta z nuqtaning sohaga tegishli etarlicha kichiq atrofida yotsin. U holda F(z) funksiya ortirmasi uchun quyidagiga ega bo'lamiz: Bu tenglikning har ikki tomonini ga bo'lamiz: Ravshanki ya'ni bo'ladi. (2) va (3) dan foydalanib ifodani topamiz. Keyingi tengsizlikdan (4) bo'lishi kelib chiqadi. Yana Koshi teoremasining natijasidan foydalanib, z va nuqtalarini birlashtiruvchi va sohada yotuvchi chiziq sifatida shu nuqtalarni birlashtiruvchi kesmani olamiz. Unda ning kesmaga tegishli bo'lishidan ushbu tengsizlikka ega bo'lamiz. funksiya z nuqtada uzluksiz. Demak, son olinganda ham shunday son topiladiki, bo'lganda bo'ladi. Shuni e'tiborga olib (4) dan topamiz: . Demak, . Bundan esa , ya'ni bo'lishi kelib chiqadi. Aytaylik F1(z) va F2(z) funksiyalarning har biri sohaga bitta f(z) funksiya uchun boshlang'ich funksiya bo'lsin. Unda F1(z) va F2(z) funksiyalar sohada bir-biridan o'zgarmas songa farq qiladi. Haqiqatan ham, bo'lganligidan funksiya uchun bo'ladi. Agar deyilsa, unda bo'lib, F(z) funksiyaning o'zgarmas ekanligi kelib chiqadi. Demak, ya'ni bo'ladi. N a t i j a: Faraz qilaylik, f(z) funksiya bir bog'lamli sohada (Cz) golomorf bo'lsin. U holda (5) funksiya sohada, f(z) ning boshlang'ich funksiyasi bo'ladi, bunda C- ixtiyoriy kompleks son. (5) boshlang'ich funksiyaning umumiy ko'rinishini ifodalaydi. (5) dan, avval z=z0 deb , so'ngra z=z1 deb tengliklarni topamiz. Oxirgi tenglikdan esa (6) bo'lishi kelib chiqadi. Odatda (6) formula Nyuton-Leybnits formulasi deyiladi. Aytaylik, f(z) va g(z) funksiyalar sohada golomorf bo'lsin. Ma'lumki, Bu tenglikni integrallab topamiz: (7) Agar bo'lishini etiborga olsak, unda (7) tenglik ushbu tenglikka keladi. Bu bo'laklab integrallash formulasidir. Koshining integral formulasi. Kompleks sonlar tekisligi C da D sohani qaraylik. Uning chegarasi silliq (bo'lakli silliq) chiziqdan iborat. Bu yopiq egri chiziq musbat yo'nalishda ...