Chegaralari o'zgaruvchi bo'lgan hol

Chegaralari o'zgaruvchi bo'lgan hol Reja: Chegaralari o'zgaruvchi bo'lgan hol. Transversallar. Parametrik forma. Shu vaqtga qadar (1) integralning chegaralari o'zgarmas edi, yani berilgan qo'zg'almas A va V nuqtalardan o'tuvchi egri chiziqlar ichidan bu integralga ekstremal qiymat beruvchi chiziqni izlagan edik. Endi mumkin bo'lgan egri chiziqlar berilgan malum sohada yotadi-yu, lekin hech qanday chegaraviy shartlarga bo'ysunmaydi deb faraz qilaylik. Bunday egri chiziqlar to'plami bitta yoki bir nechta parametrga bog'liq bo'lib, parametrlarning o'zgarishi natijasida to'plamning bir chizig'idan ikkinchisiga o'tiladi. Shu bilan egri chiziqlarning uchlari ham o'sha parametrga bog'liq ravishda o'zgarib turadi. Bunda biz birgina parametrga bog'liq chiziqlar oilasi bilan ish ko'ramiz. Bunday o'zgarishdachiziqlarning ikki uchi biror tayin chiziqlar yoki sirtlar bo'yicha surilishi mumkin yoki bir uchi biriktirilgan, ikkinchi uchi yuqorida aytilgandek, harakatda bo'lishi mumkin. Manna shunday egri chiziqlar ichidan (32) funksionalga ekstremal qiymat beruvchi chiziqni topish talab qilinadi. Albatta, qanday hol bo'lmasin, hammasi uchun zaruriy shart - funksional 1-variatsiyasining nolga tengligidir. Eng avval biz integralning ikki uchi ham harakatda bo'lgan holda 1-variatsiya ifodasini yozamiz, so'ngra qolgan hollarni ko'rib chiqamiz. Shuni aytib o'tish o'rinliki, qanday chiziqlar to'plami olinmasin, integralga ekstremal qiymat beruvchi chiziq albatta ekstremal bo'lishi, yani Eyler tenglamasining yechimi bo'lishi lozim. Shuhbasiz, egri chiziqlar to'plamida izlanayotgan ekstremalga yaqin yotgan qo'shni chiziqlarda funksionalning qiymatlarini ko'rishimiz lozim. Integral chegaralari ham parametrga bog'liq ravishda variatsiyalanadi. Qo'shni chiziqlarga nisbatan yozilgan funksionalda uchlardagi siljishlar kichik bo'lgani sababli uchlarning variatsiyasi bo'lgan va belgilarni matematik analizdagi va belgilar bilan bir narsa deb tushunish lozim. Funksional orttirmasi - (33) bo'lib,shu orttirmaning ,; , ga nisbatan bosh chiziqli qismi funksionalning variatsiyasi deyiladi. Mana shu variatsiya ifodasini hosil qilishimiz kerak. (33) ning 1-integralini quyidagicha ko'rinishda yozib, -+ (34) Bu ifodaning birinchi integrali bilan (33) ning ikkinchi integralini birlashtirib yozamiz: (35) bunda , (35) dagi 1-integralning bosh chiziqli qismi (4) ga asosan (36) va ga o'rta qiymat teoremasini qo'laylik: , bunda , bunda funksiya barcha argumentlariga nisbatan uzluksiz bo'lgani uchun , bo'ladi. (37) bo'lib, bunda R cheksiz kichik miqdordir. Demak, (36) ning bosh qismi quyidagicha bo'ladi: - (38) (36) va (37) ning yig'indisi funksional orttirmasi (35) ning bosh chiziqli qismi yoki funksionalning variatsiyasi bo'ladi, chunonchi - (39) integraldagi 2 - qo'shiluvchiga bo'laklab integrallash formulasini qo'llab, (39) ni qo'yidagicha yozamiz: - + (40) Integrllash natijasida ifodagi va ni ularning manosiga ko'ra boshqacha ko'rinishda yozamiz. Shuni aytib o'tish kerakki, , . Haqiqatan, rasmdan ko'rinadiki, ifoda ordinataning abtsissaga orttirmasi, yani , , demak, bundan (). Xudi shunday chizmani A uchda ham chizish mumkin va bu uchga nisbatan ...