Chegirmalar nazariyasi va uning ba'zi tatbiqlari

Chegirmalar nazariyasi va uning ba'zi tatbiqlari Reja: Chegirmalar va ularni hisoblash Integrallarni chegirmalar yordamida hisoblash 3.Aniq integrallarni chegirmalar yordamida hisoblash. Chegirmalar va ularni hisoblash. Faraz kilaylik, funksiya da golomorf bo'lib, a nuqta bu funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi bo'lsin. 1-Ta'rif. Ushbu integral funksiyaning a nuqtadagi chegirmasi deyiladi va kabi belgilanadi: . Ravshanki, funksiya a nuqtada golomorf bo'lsa, bo'ladi. Aytaylik, funksiya da golomorf bo'lsin. 2-Ta'rif. Ushbu integral funksiyaning nuqtadagi chegirmasi deyiladi va kabi belgilanadi: . 1-Teorema. Agar funksiya halqada Loran qatori ga yoyilgan bo'lsa, u holda (18) bo'ladi. Agar funksiya halqada Loran qatori ga yoyilgan bo'lsa, u holda (19) 2-Teorema. (Chegirmalarning yig'indisi haqidagi teorema). Agar funksiya to'plamda golomorf bo'lsa, u holda (20) bo'ladi. Endi funksiya chegirmalarini hisoblashda foydalanadigan formulalarni keltiramiz. Agar nuqta funksiyaning birinchi tartibli qutb nuqtasi bo'lsa, (21) bo'ladi. Agar uchun funksiyalar a nuqtaga golomorf bo'lib, bo'lsa , u holda (22) bo'ladi. Agar nuqta funksiyaning n-tartibli qutb nuqtasi bo'lsa, (23) bo'ladi. Agar nuqtada funksiya golomorf bo'lsa, (24) bo'ladi. 5) Agar bo'lib, funksiya nuqtada golomorf bo'lsa, (25) bo'ladi. Integrallarni chegirmalar yordamida hisoblash. Chegirmalar yordamida turli integrallarni hisoblash mumkin. Bunda quyidagi teorema muhim rol o'ynaydi. Teorema (Koshi teoremasi). Faraz qilaylik , 1) funksiya sohada golomorf 2) funksiya sohaning chegarasigacha aniqlangan va da uzluksiz, 3) - to'g'rilanuvchi yopiq kontur bo'lsin. U holda (26) formula o'rinlidir. Izoh. (26)-formula bo'lgan hol uchun ham o'rinlidir. Faqat bu holda ni uchun maxsus nuqta deb hisoblash hamda chiziq orientatsiyasini soat strelkasi yo'nalishida olish kifoyadir. Yuqorida keltirilgan Koshi teoremasidan amaliyotda yopiq kontur bo'yicha olingan integrallarni hisoblashda foydalaniladi. Aniq integrallarni chegirmalar yordamida hisoblash. Aniq integrallarni ham chegirmalar yordamida hisoblash mumkin. Bunda aniq integral kompleks o'zgaruvchili funksiyaning kontur bo'yicha olingan integraliga keltirilib hisoblanadi. a) ko'rinishdagi integrallarni hisoblash. Ushbu (27) integral berilgan bo'lib, uni hisoblash talab etilsin, bunda larning ratsional funksiyasi va u da uzluksiz. Eyler formulasiga ko'ra bo'lishini e'tiborga olib, so'ng deb belgilash kiritsak, unda bo'lib, berilgan (28)-integral quyidagicha bo'ladi, bunda Hosil bo'lgan integral oldingi punktdagi (26)-formula yordamida hisoblanadi. b) Xosmas integrallarni hisoblash. Chegirmalar nazariyasidan foydalanib xosmas integrallarni ham hisoblash mumkin. Bu quyidagi teoremaga asoslangan. Teorema. funksiya sohaning chekli sondagi maxsus nuqtalaridan tashqari barcha nuqtalarida golomorf bo'lib, uning chegarasida uzluksiz bo'lsin. Agar (28) bo'lsa, u holda yaqinlashuvchi bo'lib, (29) bo'ladi. Bu teoremadagi (28)-shartning bajarilishini ko'rsatishda quyidagi lemmalardan foydaniladi. 1-Lemma (Jordan lemmasi). Agar (30) bo'lsa, (31) bo'ladi. 2-Lemma. (Jordan lemmasi). Agar (32) bo'lsa, u holda uchun (33) bo'ladi. Endi ko'rinishdagi xosmas integrallarni qaraylik. Agar bo'lsa, u holda bu integralga 2-lemmani va yuqoridagi teoremani ...