Chiziqli akslantirishlar va izomorfizm

Chiziqli akslantirishlar va izomorfizm Reja: 1.Chiziqli akslantirishlar. 2.Chiziqli fa'zolarning izomorfizmi. 1.Chiziqli akslantirishlar. maydon ustida va chiziqli fa'zolar berilgan bo'lsin. ta'rif-1. Agar akslantirish ushbu 1) har qanday uchun , 2) har qanday uchun shartlarni qanoatlantirsa, u chiziqli deyiladi. ta'rif-2. Ushbu tenglikni qanoatlantiruvchi vektorlar to'plami akslantirishning negizi (yadrosi) deyiladi va deb belgilanadi. ta'rif-3. Ushbu to'plam akslantirishning aksi (obrazi) deyiladi va deb belgilanadi. va larning chiziqli fazoning qism fazosi bo'lishi bevosita tekshiriladi. Teorema-1. chiziqli fazoning o'lchami ga teng bo'lib chiziqli akslantirish bo'lsin, u holda tenglik o'rinli bo'ladi. Isbot. vektorlar tizimi qism fazoning bazisi bo'lsin. Ushbu bazisni chiziqli fazoning bazisigacha to'ldiramiz. tizim chiziqli fazoning bazisi bo'lsin. tizim qism fazoning bazisi ekanligini ko'rsatamiz. Bu vektorlar chiziqli erkli. Haqiqatan ham, agar bo'lsa, chiziqli akslantirish bo'lgani uchun bo'ladi. Demak, . Bu yerdan tizim ning bazisi bo'lgani uchun . Oxirgi tenglikdan . tizim chiziqli fazoning bazisi bo'lgani uchun . Xususan, . Endi vektor bu tizim orqali chiziqli ifodalanishini isbotlaymiz. . tizim qism fazoning bazisi bo'lgani uchun . Shuning uchun . Demak, tizim qism fazoning bazisi va . Teorema isbotlandi. 2.Chiziqli fa'zolarning izomorfizmi. ta'rif-4. Agar akslantirish ushbu: 1) - biektiv akslantirish. 2) har qanday uchun , 3) har qanday uchun shartlarni qanoatlantirsa, u izomorfizm deyiladi. Natija-1. Agar akslantirish izomorfizm bo'lsa, u holda . Haqiqatan ham, ixtiyoriy uchun deb olsak ko'rsatish kerak bo'lgan tenglikka ega bo'lamiz. Bundan keyin biz chiziqli fa'zolarning nollarini va deb belgilaymiz. Natija-2. Izomorfizm ta'sirida chiziqli erkli vektorlar chiziqli erkli vektorlarga o'tadi. Haqiqatdan ham agar - chiziqli erkli tizim bo'lsa, u holda . Shuning uchun birinchi natijaga asosan yoki . Bu tenglik esa vektorlarning chiziqli erkliligini bildiradi. ta'rif-5. Agar ikkita chiziqli fa'zolar orasida izomorfizm mavjud bo'lsa, fa'zolar izomorf deyiladi. Teorema-2. Chekli o'lchamli chiziqli fa'zolar izomorf bo'lishi uchun ularning o'lchamlari teng bo'lishi zarur va etarlidir. Isbot. bo'lsin. tizim chiziqli fazoning bazisi, tizim esa chiziqli fazoning bazisi bo'lsin. Har bir da qonuniyat asosida akslantirish kiritamiz. Har bir chiziqli fazoning vektori shu fazoning bazisi orqali yagona ravishda ifodalanishini hisobga olsak, ushbu akslantirish bieksiya bo'ladi. Ikkinchi tarafdan Xuddi shunday tenglikni ko'rsatish mumkin. Demak, biz ko'rgan akslantirish izomorfizm bo'ladi. Natijada va chiziqli fa'zolar izomorfligi kelib chiqadi. va chiziqli fa'zolar izomorf bo'lsin. Demak, ular orasida izomorfizm mavjud. bo'lsin, yani da chiziqli erkli bo'lgan tizim mavjud bo'lib, ixtiyoriy vektordan tashkil topgan tizim chiziqli bog'lik bo'lsin. Izomorfizm chiziqli erklilikni saqlagani uchun vektorlar chiziqli erkli bo'ladi va ixtiyoriy vektordan tashkil topgan tizim chiziqli bog'liq bo'ladi. Demak . Teorema isbotlandi. Foydalanilgan adabiyotlar. 1.Xojiev J., Faynleyb A.S. «Algebra ...