Chiziqli operatorlar va ularning matritsalari

Chiziqli operatorlar va ularning matritsalari Reja: 1. Chiziqli operatorning matritsasi. 2. Bazis o'zgarganda chiziqli operator matritsasining o'zgarish qonuni. 3. Chiziqli operatorning teskarilanuvchanlik kriteriyasi. ta'rif-1. Chiziqli fazoning o'zini o'ziga chiziqli akslantirishi chiziqli operator deb ataladi. chiziqli operator bo'lib, tizim chiziqli fazoning bazisi bo'lsin. qism fazo bo'lgani uchun ta'rif-1. Quyidagi matritsa chiziqli operatorning bazisdagi matritsasi deyiladi. Teorema-1. chiziqli operator va bo'lsin. U holda tenglik o'rinli bo'ladi, bu yerda va lar mos ravishda va vektorlarning bazisdagi koordinatalaridan tuzilgan vektor-ustunlar. Isbot. ta'rifga asosan , shuning uchun . Demak, , yoki . Teorema isbotlandi. Teorema-2. va lar mos ravishda chiziqli operatorning va bazislardagi matritsalari bo'lsa, matritsaviy tenglik o'rinli bo'ladi. Bu yerda - bazisdan bazisga o'tish matritsasi. Isbot. Oldingi teoremaga asosan bazida . (1) Ikkinchi tarafdan bazisda . (2) Bir bazisdan ikkinchi bazisga o'tishda vektor koordinatalarining o'zgarish formulasiga asosan va . Shuning uchun (1) tenglikka asosan yoki . Bu yerdan matritsaviy tenglikka ega bo'lamiz. Bu tenglikni (2) bilan solishtirib tenglikka ega bo'lamiz. Teorema isbotlandi. ta'rif-2. chiziqli operatorning determinanti deb uning matritsasining determinantiga aytiladi. Izox. Ushbu ta'rif to'g'ri, chunki chiziqli operatorning matritsasining determinanti bazis tanlashga bog'lik emas. Haqiqatan ham, oldingi teoremaga asosan . ta'rif-3. chiziqli operatorning rangi deb uning matritsasining rangiga aytiladi. Izox. Ushbu ta'rif to'g'ri, chunki chiziqli operatorning matritsasining rangi bazis tanlashga bog'lik emas. Haqiqatan ham, oldingi teoremaga asosan . Bu yerdan matritsalar ko'paytmasining rangi haqidagi teoremaga asosan . Ikkinchi tarafdan tenglikka asosan . Demak . ta'rif-4. chiziqli operatorning determinanti noldan farqli bo'lsa bu operator maxsusmas deyiladi. ta'rif-5. Agar akslantirish (chiziqli bo'lishi shart emas) uchun shunday akslantirish mavjud bo'lsaki, fg=gf=e - birlik (ayniy) akslantirish bo'lsa, g akslantirish f ga teskari deb ataladi. Agar f akslantirish uchun teskarisi mavjud bo'lsa, u yagona. Haqiqatan ham, ikkita teskari akslantirish mavjud bo'lsin: . U holda . Ikkinchi tomondan . Demak, . Berilgan f akslantirishga teskari g akslantirish ko'rinishda belgilanadi. Agar f - chiziqli operator bo'lsa, u holda ham chiziqli. Haqiqatan xam, agar ixtiyoriy vektor bo'lsa, f ning teskarisi mavjud bo'lgani uchun shunday yagona vektorlar mavjudki, . Bundan f chiziqli bo'lgani uchun . Natijada . Shunga o'xshash xossa isbotlanadi. Teorema-3. chiziqli operator o'lchamli chiziqli fazoda berilgan bo'lsin. Quyidagi xossalar teng kuchli: 1) - maxsusmas. 2) - teskarilanuvchi. 3) ixtieriy bazis uchun uning akslaridan tuzilgan tizim ning bazisi bo'ladi. 4) shunday bazis mavjudki uning uchun akslaridan tuzilgan tizim ning bazisi bo'ladi. 5) (syurektivlik), 6) , 7) - inektiv operator. Isbot. . - maxsusmas bo'lganligi uchun uning bazisdagi matritsasiga teskari matritsa mavjud. bazisda ...