Chiziqning buralishi

Chiziqning buralishi Reja: Chiziqning buralishi haqida tushuncha. Chiziqning buralishi uchun formula. Ixtiyoriy parametrli tenglamalar bo'yicha buralishni hisoblash. 1. egri chiziq va unda yotuvchi R nuqta berilgan bo'lsin. Egri chiziqda R nuqtaga yaqin Q nuqtani olamiz. R va Q nuqtalarda yopishma tekisliklar o'tkazamiz. Yopishma tekisliklar orasidagi burchakni bilan va RQ yoy uzunligini |s| bilan belgilaymiz. Ta'rif. Egri chiziq bo'ylab QR da |s| nisbat intilgan limit egri chiziqning R nuqtasidagi absolyut buralish deyiladi va ko'rinishda belgilanadi. TYeORYeMA. Regulyar (uch marta uzluksiz differensiallanuvchi) egri chiziq o'zining egriligi 0 dan farqli bo'lgan xar bir nuqtasida aniq absolyut buralishga ega. Agar r=r(s) egri chiziqning tabiiy parametrlangan tenglamasi bo'lsa absolyut buralish =|r'rr'|k2 formula bilan hisoblanadi. ISBOT. Agar egri chiziqning R nuqtasida egriligi 0 dan farqli bo'lsa, uning uzluksiz ekanligidan unga yaqin nuqtalarda xam egrilikning 0 dan farqli ekani kelib chiqadi. Egrilik 0 dan farqli bo'lgan nuqtalarning xar birida r'(s) va r(s) vektorlar 0 dan farqli va o'zaro emas. Shuning uchun R ga yaqin bo'lgan nuqtalarning xar birida yopishma tekislik mavjuddir. (s) va (s+s) vektorlar R va Q nuqtalardagi binormallarning birlik vektorlaridan iborat bo'lib, ular orasidagi burchak ga teng. Shuning uchun yuqorida ko'rib o'tganimizdek |(s+s)-(s)|=2sin(2) bo'ladi. Bundan Oxirgi tenglik |s|0 da limitga o'tib, =|'| (1) ni topamiz. ' vektor va vektorlarga dir. Xaqiqatan xam birlik vektor bo'lgani uchun ' bo'ladi. Shuningdek =[,] tenglikni differensiallab, '=[',]+[,']=[,] ni topamiz. Bundan ' kelib chiqadi. Demak, ' vektor vektor bilan kollinear ekan. Shu sababli (1) tenglikni =|'| ko'rinishda yozib olamiz. Bu tenglikka ' va larning ma'lum ifodalarini qo'yib ushbu natijalarni olamiz, yani =|[,']|=|(',,)|=|(r' 1k r' 1k r)|=|(r'rr')|k2 (2) Bu tenglik teoremani isbotlaydi. Agar egri chiziq tenglamasi r=r(t) ko'rinishdagi ixtiyoriy t parametr orqali berilgan bo'lsa, egri chiziqning buralishi =(r'rr')[r'r] (3) formula bilan hisoblanadi. Xaqiqatan xam quyidagilarni topa olamiz, yani r's=r't', rss=rt'2+r't r'ss=r't'3+2rt't+rt't+r't' Bu qiymatlarni (2) tenglikda o'rniga ê¢éib, t'2=1r'2 ekanini eotiborga olsak, isbot qilinishi kerak bo'lgan (3) formulani olamiz. Endi xar bir nuqtasidagi buralishi 0 ga teng bo'lgan chiziqlarni topaylik. Ma'lumki, x='=0. Bundan tashqari '=0 va '=0 ekanidan '=0 ni topamiz. Bundan =0=sonst ekani kelib chiqadi. Bizga ma'lumki va vektorlar o'zaro perpendikulyardir. Shuning uchun r'0=0 bo'ladi. Demak, (r(s)-r0)0=0. Bu esa (r-r0)0=0 vektor tenglama bilan berilgan egir chiziqni tekislikda yotishini ko'rsatadi. Shunday qilib, buralish 0 ga teng bo'lgan barcha egri chiziqlar tekis egri chiziqlardan iboratdir. Endi buralishning ishorasini topamiz. Egri chiziq bo'ylab yopishma tekislik s ning o'sish yo'nalishida harakatlanganda urinma atrofida buralishi kelib chiqadi. Shuning uchun buralishni x=|x|ko'rinishda aniqlaymiz. Bunda agar ...