Chiziqning egriligi

Chiziqning egriligi Reja: Chiziqning egriligi haqida tushuncha. Chiziq egriligini hisoblash uchun formula. Chiziq egriligini hisoblashda tabiiy va ixtiyoriy parametrli formulalar orasidagi bog'lanish. Chiziq egriligining teometrik ma'nosi. Aytaylik regulyar egri chiziq va unda yotuvchi R nuqta berilgan bo'lsin. Egri chiziqda R nuqtaga yaqin bo'lgan Q nuqtalarda urinmalar o'tkazamiz. Bu urinmalar orasidagi burchakni bilan RQ yoy uzunligini esa |s| bilan belgilaymiz. Ta'rif. Egri chiziq bo'ylab Q nuqta R nuqtaga intilganda |s| nisbat intilgan limit egri chiziqning R nuqtasidagi egriligi deyiladi va k harfi bilan belgilanadi. TEOREMA. Regulyar (ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi) egri chiziq xar bir nuqtasida aniq egrilikka ega. Agar r=r(s) uning tabiiy parametrlangan tenglamasi bo'lsa, egrilik k=|r(s)| formula bilan hisoblanadi. ISBOT. R va Q nuqtalarga parametrning mos ravishda s va s+s qiymatlar mos kelsin. Urinmalar orasidagi burchak ularning birlik vektorlari (s) va (s+s) orasidagi burchakka teng., (s)=r(s) va (s+s)=r(s+s) ga teng. (s) va (s+s) vektorlar birlik vektorlar bo'lib, ular orasidagi burchak bo'lgani uchun |(s+s)-(s)|=2sin(2) bo'ladi. Bundan nuqta R ga intilganda s0, 0 bo'lishini etiborga olib, oxirgi tenglikda limitga o'tsak, |'(s)|=k kelib chiqadi yoki k=|r(s)| bu toeremani isbotlaydi. Faraz qilaylik berilgan nuqtada egrilik 0 dan farqli bo'lsin. =1(kr(s)) vektor birlik vektor bo'lib, yopishma tekislikda joylashgandir. Bundan tashqari u urinma vektor ga xam perpendikulyardir. Demak, bu vektor bosh normal bo'ylab yo'nalgan bo'lib, uni bosh normalning birlik vektori deb yuritiladi. =[,] vektor birlik vektor bo'lib, va vektorlarning xar bioriga perpendikulyardir. Demak, binormal bo'ylab yo'nalgan va uni binormalning birlik vektori deb yuritamiz. Endi egri chiziq tenglamasi ixtiyoriy t parametr orqali berilganda egrilikni hisoblash uchun formula topamiz. Egri chiziq r=r(t) tenglama bilan berilgan bo'lsin. Bundan r'=r'ss' dan r'2=s'2 (*) r's= Oxirgini yana t bo'yicha differensiallaymiz. Bu tenglikning xar ikki tomonini kvadratga ko'tarib, va (*) tenglikni etiborga olib, quyidagini topamiz: yoki Bu formuladan foydalanib, ixtiyoriy parametrli egri chiziqning egriligi hisoblanadi. Endi egrilikning geometrik maonosini ko'raylik. R=1k miqdor chiziqning berilgan M0(x0,y0,z0) nuqtasidagi egrilik radiusi deyiladi. R radiusli aylana shu nuqtadagi egrilik aylanasi, uning markazi esa egrilik markazi deyiladi. Chiziqning M nuqtasidagi egrilik radiusi formula bilan, egrilik markazining koordinatalarini esa formula bilan topiladi. Chiziq va uning egrilik aylanasi umumiy nuqtada umumiy urinmaga egadir. Egrilik aylanasining radiusi urinmaga tikdir. Demak, egrilik markazi chiziqning normalida yotadi. Chiziqning ikkita bir-biriga yaqin M va M1 nuqtalarda o'tkazilgan urinmalar bilan OX uning musbat yo'nalishi orasidagi burchaklarni va + desak, urinmalar orasidagi burchak bo'lib, M nuqtadagi nisbiy egrilik yoki ga teng bo'ladi. Adabiyotlar Aleksandrov A.D., Netsvetaev N.Yu. Geometriya. M.,Nauka,1990. 2.Narmanov A.Ya. differensial geometriya. T. Universitet, ...