Darajali funksiya. Jukovskiy funksiyasi

Darajali funksiya jukovskiy funksiyasi Reja: Darajali funksiya Jukovskiy funksiyasi. Darajali funksiya Ushbu ko'rinishdagi funksiya darajali funksiya deyiladi, bunda n - natural son. Bu funksiya butun kompleks tekislikda golomorf. shart nuqtalarda bajariladi. Demak funksiya sohadagi har bir z nuqtada konform ekan. Z=0 nuqtada konformlikning buzilishini shu nuqtada burchak kattaliklarining saqlamasligi ham ko'rsatadi. tekisliklarda qutb koordanatalarini kiritamiz: Natijada (1) akslantirih ushbu ko'rinishga ega bo'ladi. Undan esa, bo'lishi kelib chiqadi. Demak, akslantirish qutb koordinatalar sistemasida ushbu akslantirishga o'tadi. Binobarin (1) akslantirishni o'rganish (2) akslantirishni o'rganishga keladi. (2) akslantirishda topamiz: 1)r=const bo'lganda =const bo'ladi. Demak, (1) tekislikdagi markazi z=0 nuqta da bo'lgan aylanalarni tekislikdagi markazi W=0 nuqtada bo'lgan aylanalarga akslantiradi. 2) bo'lganda bo'ladi. Demak, (1) akslantirish tekislikdagi z0 nuqtadan chiqqan nurlarni, tekislikka W=0 nuqtadan chiqqan nurlarga akslantiradi. Ayni paytda (1) akslantirish nurni (haqiqiy musbat yo'nalish bo'yicha olingan nurni ) nurga, tekisdagi nurga akslantiradi. Yuqorida keltirilgan tasdiqlardan akslantirish tekislikdagi sohani (uchi z=0 nuqtada bo'lgan burchakni sektorni) tekislikdagi sohaga (uchi W=0 nuqtada bo'lgan burchakka - sektorga) akslantirishi kelib chiqadi. Darajali funksiya yordamida bajariladigan akalantirishda z=0 nuqtada burchak n marta oshganligi sababli z=0 nuqta da akslantirish (n1) konform bo'lmaydi. Xususan, akslantirish yordamida tekislikdagi soha (burchak-sektor), tekislikdagi sohaga (yuqori yarim tekislikka) o'tadi. Demak, funksiya (3) sohaning (4) sohaga konform akslantiradi. Endi tekislikda ushbu sohani (uchi z=0 nuqtada, tomonlari argz=0,argz=2n nurlardan iborat burchakli-sektorni) olamiz. Ravshanki, funksiya yordamida bu soha C tekislikdagi sohaga akslanadi. Xulosa. -funksiyamtz butun tekislikda golomorf funksiya, bir yaproqli emas. Lekin tekislikni n ta bo'lakka bo'lsak orasidagi burchak ga teng bo'lgan. Funksiyamiz har bir bo'lakni konform sohaga akslantiradi. Praktikada bu funksiyadan burchak sohalarni yuqori yarim tekislikk akslantirishda foydalaniladi. Agar sohani buchagi ga teng bo'lsa, bizning funksiyamiz bunday sohani Yuqori yarim tekislikka akslantiradi. Misol. Ushbu darajali funksiya yordamida tekislikdagi …… …… to'plamning tekislikdagi aksini toping. Berilgan E to'plamni deb Jukovskiy funksiyasi. Ushbu funksiyaga Jukovskiy funksiyasi deyiladi. Funksiyamiz kasr-chiziqli funksiya emas. Faqat 2 ta kasr-chiziqli funksiya yig'indisidan iborat. Bu funksiya va nuqtalardan tashqari butun tekislikda golomorf. Uning hosilasi , agar bo'lsa. Bu yerdan ko'rinib turibdiki, ixtiyoriy chekli nuqtada Jukovskiy funksiyasi konform bo'lar ekan. Bu funksiyaning nuqtada konformligini konformlikning ta'rifidan foydalanib isbotlash mumkin. tenglikdan esa funksiyaning nuqtada ham konformligi kelib chiqadi. Shunday qilib Jukovskiy funksiyasi nuqtalardan tashqari hamma yerda konform ekan. Endi bu funksiyasi 2 ta nuqtalarni bitta nuqtaga o'tkazsin. U holda bo'ladi. ekanligidan tenglikni hosil qilamiz. Shunday qilib, Jukovsikiy funksiyasining birorta D sohada bir varaqli bo'lishi uchun bu sohaning tenglikni qanoatlantiruvchi va nuqtalarni saqlamasligi zarur va etarlidir. (1)-funksiya quyidagi ...