Darajali qatorlar

Darajali qatorlar Reja: Darajali qator Darajali qatorning yaqinlashish radiusi va yaqinlashish doirasi. Darajali qator ta'rif 1: Ushbu (1) yoki (2) ko'rinishdagi qatorga darajali qator deyiladi. kompleks sonlar darajali qatorning koeffitsiyentlari deyiladi. Agar (2) da desak, u holda (2) ko'rinishdagi qator (1) ko'rinishdagi qatorga keladi. Demak (1) ko'rinishdagi qatorni o'rganish yetarli. Teorema 1: (Abel). Agar (1) darajali qator z ning qiymatida yaqinlashuvchi bo'lsa, u holda bu qator doirada absolyut yaqinlashuvchi bo'ladi. Isbot. Shartga ko'ra sonli qator yaqinlashuvchi. Qator yaqinlashishning zaruriy shartiga ko'ra bo'ladi. Madomiki, ketma-ketlik chekli limitga ega ekan, unda bu ketma-ketlik chegaralangan, ya'ni shunday o'zgarmas M0 son mavjudki, uchun bundan (3) Endi ushbu qator bilan birga quyidagi qatorni qaraymiz. Ravshanki, qator yaqinlashuvchi bo'ladi, chunki geometrik qator (3) ga ko'ra qator doirada yaqinlashuvchi bo'ladi. Demak, berilgan qator doirada absolyut yaqinlashuvchi. Teorema isbot bo'ldi. Natija 1: Agar darajali qator z=z1 nuqtada uzoqlashuvchi bo'lsa, u holda qator sohada uzoqlashuvchi bo'ladi. Isbot: Berilgan darajali qator z=z nuqtada uzoqlashuvchi bo'lsin. Unda bu qator z ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida ham uzoqlashuvchi bo'ladi, chunki qator z ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi biror z=zqiymatida yaqinlashuvchi bo'ladigan bo'lsa, Abel teoremasiga binoan bu qator z=z nuqtada ham yaqinlashuvchi bo'lib qoladi. Bu esa qatorning z=z nuqtada uzoqlashuvchi deyilishiga ziddir. Demak, berilgan qator da uzoqlashuvchi. Natija isbot bo'ldi. Darajali qatorning yaqinlashish radiusi va yaqinlashish doirasi. Teorema 2. Agar (1) darajali qator z ning ba'zi qiymatlarida yaqinlashuvchi, ba'zi qiymatlarida uzoqlashuvchi bo'lsa, u holda shunday yagona R (R0) son topiladiki (1) qator doirada yaqinlashuvchi, sohada esa uzoqlashuvchi bo'ladi. Isbot: (Mustaqil) Ta'rif 2. Agar (1) darajali qator da yaqinlashuvchi, da uzoqlashuvchi bo'lsa, R son (1) darajali qatorning yaqinlashish radiusi, doira esa (1) darajali qatorning yaqinlashish doirasi deyiladi. E s l a t m a. (1) darajali qator aylana nuqta arida yaqinlashuvchi ham bo'lishi mumkin, uzoqlashuvchi ham bo'lishi mumkin. Teorema 3. (Koshi-Adamar teoremasi) Berilgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi (4) bo'ladi. (4) da l=0 bo'lganda R=+, l =+ bo'lganda esa R=0 deb olinadi. 3. X o s s a l a r i: 1. Agar (1) darajali qatorning yaqinlashish radiusi R (R0) bo'lsa, u holda bu qator doirada tekis yaqinlashuvchi bo'ladi. Isbot. Berilgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi R ga teng bo'lganligi sababli, qator doirada yaqinlashuvchi bo'ladi. nuqtalarni olaylik. Ravshanki, bu nuqtada darajali qator absolyut yaqinlashuvchi, ya'ni qator yaqinlashuvchi bo'ladi. uchun har doim bo'lganligidan Veyershtrass alomatiga ko'ra qator da tekis yaqinlashuvchi bo'ladi. N a t i j a.2. (1) darajali qator yig'indisi da uzluksiz funksiya bo'ladi. . Agar (1) darajasi ...