Determinantlar minorlarini hisoblash

Determinantlar minorlarini hisoblash Reja: Minor va algebraik to'ldiruvchi tushunchalari. Minorni algebraik to'ldiruvchisiga ko'paytmasi haqidagi teorema. 3.Determinantlarni hisoblash. n-tartibli d determinant berilgan bo'lsin. 1 k n-1 shartni qanoatlantiruvchi son bo'lsin.Determinantni ixtiyoriy k ta satr va k ta ustunini tanlab olaylik. Bu satr va ustunlar kesishgan joylarda turgan elementlar k-tartibli matritsa tashkil qiladi.Bu matritsa determinanti d determinantni k- tartibli minori deyiladi. Shuningdek , k-tartibli minor bu determinantda n-k ta satr va n-k ta ustunni o'chirishdan hosil bo'ladigan determinant ham deb qarash mumkin. n-tartibli determinantda k-tartibli M minor olingan bo'lsin. Bu minor turgan satr va ustunlarni o'zirsak, (n-k)-tartibli M' minor qoladi va u M minor uchun to'ldiruvchi minor deyiladi. Masalan, element va determinantni i-satri va j-ustunini o'chirishdan hosil bo'lgan (n-1)- tartibli minor o'zaro to'ldiruvchi minorlar jufti bo'labi. Agar k-tartibli M minor nomerli satrlar va nomerli satrlarga joylashgan bo'lsa, u holda M minorni algebraik to'ldiruvchisi deb songa aytiladi. Bunda (1) Teorema. d determinantda k-tartibli ixtiyoriy M minorni uning algebraik to'ldiruvchisiga ko'paytmasi d determinantda algebraik yig'indi bo'lib, uning qo'shiluvchilari M minor hadlarini determinantni hadlariga ko'paytirishdan hosil bo'ladi, ularni bu yig'indidagi ishoralari determinant tarkibiga kirgan yig'indilar ishoralari bilan bir xil bo'ladi. Isboti. 1.M minor determinantni 1,2,,k nomerli satr va shu nomerli ustunlarda joylashgan bo'lsin: Bu 1. holda bo'ladi.Demak, M minorni algebraik tuldiruvchisi M' minorni o'zi bo'lib xizmat qilabi. (2) M minorni biror ixtiyoriy hadi bo'lsin. Agar l (3) o'rniga qo'yishdagi inversiyalar soni bo'lsa, u holda bu (2) hadning M dagi ishorasi (-1)l bo'ladi. (4) M' minorning biror ixtiyoriy hadi va l' (5) o'rniga qo'yishdagi inversiyalar soni bo'lsa, u holda bu (4) had M' minorda (-1)l' ishoraga ega. (2) va (4) hadlarni ko'paytirib d determinantning turli satr va ustunlarida joylashgan n ta elementning ko'paytmasini hosil qilamiz: (6) Demak, bu (6) d determinantni hadi bo'ladi. Bu hadning (6) dagi ishorasi esa (7) o'rniga qo'yishdagi inversiyalar, soniga bog'liq bo'ladi.Bu (7) dagi inversiyalar soni l+l' ga teng, chunki va lar inversiya tashkil etmaydi, ya'ni barcha i lar k dan katta emas , barcha j lar k+1 dan kichik emas. (6) ni MM' ko'paytmadagi ishorasi ham (-1)l (-1)l' bo'ladi.Demak, (6) ni MM' dagi va d dagi ishoralari ham bir xil bo'ladi. Biz bu teoremani xususiy holda ya'ni M determinantni yuqori chap uchida joylashgan holda isbotladik. 2.hol.Endi M minor nomerli satrlarda va nomerli ustunlarda joylashgan bo'lsin.Shu bilan birga bo'lsin. Determinantni satr va ustunlarini almashtira borib M minorni yuqori chap burchakka suraylik.Shu maqsadda , satrni (i1-1)-satr bilan, sungra (i1-2)-satr bilan almashtiramiz va hakazo.Bu ...