Differensial operatorlarning egri chiziqli koordinatalardagi ifodasi

Differensial operatorlarning egri chiziqli koordinatalardagi ifodasi Reja: Differensial operatorlarning silindrik koordinatalarda yozilishi Differensial operatorlarning sferik koordinatalarda yozilishi Vektorning analitik ta'rifi Ortogonal egri chiziqli koordinatalarda asosiy differensial operatorlar quyidagi ko'rinishlarga ega bo'ladi: Bu operatorlarning silindrik koordinatalardagi ko'rinishlari: Sferik koordinatalarda esa bu operatorlar Vektorning analitik ta'rifi Boshlari bir nuqtada joylashgan ikki Dekart sistemasi S, S' berilgan bo'lib, ularning ortlari e1 e2, e3 va e'1, e'2 e'3 bo'lsin. Fazodagi biror nuqtaning koordinatalar boshiga nisbatan radius-vektori r ni o'sha nuqtaning S sistemadagi x1 x2, x3 koordinatalari orqali va S' sistemadagi x'1, x'2, x'3 koordinatalari orqali ifodalaymiz: yoki qisqartirilgan shaklda bunday bo'ladi: So'nggi tenglikning ikki tomonini ye'k ortga skalyar ko'paytiraylik: Endi (1) ning ikki tomonini yana o'sha ye'k ortga skalyar ko'paytiraylik: bo'ladi. Bu formula dastlabki koordinatalardan yangi koordinatalarga o'tishni ifodalaydi. YAngi koordinatalardan dastlabki koordinatalarga o'tish formulasini topish qiyin emas. Buning uchun (1) bilan (2) formulalarning chap va o'ng tomonlarini yek ortga skalyar ko'paytiramiz: Bu formula esa yangi koordinatalardan dastlabki koordinatalarga o'tishni ifodalaydi. YUqoridagi (3) va (4) formulalar koordinatalarning ortogonal almashtirilishlarini ko'rsatadi. Bu formulalarni bazis vektorlarni almashtirish formulalari (2) va (16) bilan solishtirsak, almashtirishlarning umumiy qonunga buysunishini ko'ramiz: bazis vektorlar qanday almashtirilsa, koordinatalar ham xuddi shunday almashtiriladi. Har qanday a vektor uchun: bu yerda ai, a'j sonlar a vektorning eski va yangi Dekart sistemasida olingan mos komponentlaridir. Bu komponentlarning almashtirish qonunini aniqlamoqchimiz. So'nggi ikki formuladan foydalanib bunday yozamiz: demak: SHuning kabi usul bilan tubandagi formulani ham chiqarish mumkin: So'nggi ikki formuladan ko'ramizki, bazis vektorlar qanday almashtirilsa, vektorning komponentlari xam xuddi shunday almashtiriladi. Ularni almashtirish konuni bir xildir. Ana shu almashtirish konuniga asoslanib, vektorga yangi ta'rif berish mumkin. Vektorlar algebrasida vektorga berilgan geometrik ta'rifni eslaylik: son qiymatlari bilan yo'nalishlari anik va parallelogramm qoidasiga muvofiq qo'shiluvchi miqdorlar vektorlar deb ataladi. Vektorni komplanar bo'lmagan vektorlar bo'yicha ajratish formulasi shu parallelogramm qoidasiga asoslangan edi. Vektor komponentlarini almashtirish formulalari (7) va (8) esa vektor bilan ortlarni ajratish formulalaridan kelib chiqqan natijadir. Demak, vektorga yaqqollik nuqtai nazaridan berilgan geometrik ta'rif o'rniga o'nga ekvivalent analitik ta'rif berish mumkin. Dekart sistemasi S da uchta skalyar miqdor a1, a2, a3 va boshqa Dekart sistemasi S' da uchta skalyar mщdor a1, a2, a3 berilgan bo'lsin. Bazis vektorlarni yoki koordinatalarni almashtirish qonuniga bo'ysungan yuqoridagi uchta skalyar mikdor to'plami a vektorni aniqlaydi. Vektorni bunday anglashni vektorning analitik ta'rifi deyishimiz mumkin. SHunday qilib, (7) yoki (8) formulalar vektorning analitik ta'rifini ifodalaydi. Tenzorlar tushunchasini kiritishda shu muloxazalar asosiy rol uynaydi. a vektorning a1, a2, a3 komponentlari skalyar miqdorlardir. Vektorning komponentlari, ...