Egri chiziqqa o'tkazilgan urinma va uning turli tenglamalari

Egri chiziqqa o'tkazilgan urinma va uning turli tenglamalari Reja: Egri chiziqqa o'tkazilgan urinma ta'rif. Urinmaning mavjudligi va yagonaligi sharti. Urinmaning turli ko'rinishdagi tenglamalari. Normal tekislik va uning tenglamasi. Tayanch iboralar: Egri chiziq urinmasi, urinmaning yo'naltiruvchi vektori, urinmaning kanonik tenglamasi, urinmaning oshkormas tenglamasi, normal tekislik va uning tenglamasi. Urinma tushunchasi va uning Ta'rifi bizga analitik geometriya kursidan ma'lum. Lekin biz quyida urinmaning boshqacha, lekin oldingi ta'riflarga teng kuchli bo'lgan ta'rifini beramiz. Bu ta'rif kelgusi mavzularni o'rganish uchun ancha qulaydir. Aytaylik egri chiziq va uning biror Р nuqtasi berilgan bo'lsin. Р nuqta orqali g to'g'ri chiziqni o'tkazamiz. egri chiziqda Р nuqtaga yaqin bo'lgan Q nuqtani olamiz (2-shakl). Р va Q nuqtalar orasidagi masofani d bilan, Q nuqtadan g to'g'ri chiziqqacha bo'lgan masofani esa bilan belgilaymiz. Ta'rif. Agar Q nuqta egri chiziq bo'ylab Р nuqtaga intilganda (d)0 bo'lsa, u xolda g to'g'ri chiziqni egri chiziqqa Р nuqtasida o'tkazilgan urinma deyiladi. Agar egri chiziq Р nuqtada urinmaga ega bo'lsa, u xolda Q nuqta Р nuqtaga intilganda РQ to'g'ri chiziq shu urinmaga intiladi va aksincha, agar РQ to'g'ri chiziq Q nuqta Р nuqtaga intilganda biror to'g'ri chiziqqa intilsa bu to'g'ri chiziq shu nuqtadagi urinma bo'ladi. TEOREMA. Silliq egri chiziq o'zining xar bir nuqtasida urinmaga ega bo'lib, u yagonadir. Agar r=r(t) ning vektor tenglamasi bo'lsa, Р nuqtadagi urinmaning yo'nalishi r'(t) vektorning yo'nalishi bilan bir xil bo'ladi. ISBOT. Faraz qilaylik egri chiziq Р nuqtada urinmaga ega bo'lib, у g to'g'ri chiziqdan iborat bo'lsin. Р va Q nuqtalar orasidagi d masofani |f(t+t)-f(t)| ko'rinishda ifodalashimiz mumkin. Bu yerda Q nuqtaga parametrning t+t qiymati mos qo'yilgan. Shuningdek, shaklga asosan =[|f(t+t)-f(t)|] ekanini topamiz. Farazimizga asosan g to'g'ri chiziq Р nuqtadagi urinma bo'lgani uchun ta'rifga ko'ra Q nuqta Р nuqtaga intilganda d0 bo'ladi. Bundan foydalanib quyidagilarni topamiz: Ma'lumki, QР да t0. Shuning uchun oxirida t0 da limitga o'tib, [f'(t),][f'(t)]0 ni olamiz. Bundan [f'(t),]=0 kelib chiqadi. Agar f'(t)0, 0 ekanini etiborga olsak, f'(t) kelib chiqadi. Demak, urinma mavjud bo'lsa, uning yo'nalishi f'(t) vektorning yo'nalishi bilan bir xil ekan. Bundan urinmaning yagonaligi kelib chiqadi. Xuddi shunday Р nuqta orqali o'tuvchi va f'(t) vektorga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqning urinma ekanligi xam ravshandir. Urinmaning turli ko'rinishdagi tenglamalari. Ma'lumki, egri chiziq turli ko'rinishdagi tenglamalar orqali berilishi mumkin. Egri chiziqning berilishi usuliga mos ravishda urinma tenglamalari xam turli ko'rinishlarda bo'ladi. Ularning ayrimlarini ko'rib o'tamiz. 1. Aytaylik egri chiziq x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t) ko'rinishdagi parametrik tenglamalar bilan berilgan bo'lsin. Ma'lumki, boshlang'ich nuqtasi М(x0,y0,z0) va yo'naltiruvchi vektori l(m,n,р) bo'lgan to'g'ri chiziq ...