Ekstremallar va transversallar maydoni

Ekstremallar va transversallar maydoni Agar xOu tekislikda biror D soha berilgan bo'lib, shu sohaning har bir nuqtasidan bir parametrli egri chiziqlar oilasining faqat 1ita chizig'i o'tsa, u holda bunday egri chiziqlar oilasi D sohada maydon hosil qiladi deyiladi. Oilaga tegishli har bir chiziqning ixtiyoriy nuqtasidagi urinmaning burchak koeffitsiyenti maydonning og'mali deyiladi; uni orqali belilaylik. Masalan, bir parametrli parabolalar oilasining og'maligi bo'lganda . Parabolalarning polosada funksiya bilan berilgan yoylari maydon hosil qiladi. Ammo aylana ichida parabolalar oilasi maydon hosil qilmaydi. Agar roila chiziqlari 1ita nuqtadan o'tib, boshqa umumiy nuqtaga ega bo'lmasa, bunday maydon markaziy maydon deyildi. Ravshanki, bu nuqta sohaning ichki nuqtasi bo'lmasligi kerak, aks holda maydon hosil qilmaydi. Bu nuqtani to'plam markazi desak, markaz soha chegarasida bo'lishi kerak. Bizni qiziqtiradigan maydonlar har qanday egri chiziqlar maydoni bo'lmasdan, balki ekstremallar maydonidir. Umuman, Eyler tenglamasining yechimi bo'lgan ekstremallar to'plami 2 ta para-metrga bog'liq. Biz shu to'plamlardan 1ita parametrga bog'liq bo'lganlarini ajratib olamiz. Masalan, tenglamalari bo'lgan egri chiziqlar to'plami tekislikda uch parametrli chiziqlar to'plamiga misol bo'la oladi. Agar bir xil radiusli aylanalarnigina ku holda to'plamdan 2 parametrli chiziqlarni ajratib olgan bo'lamiz; endi bir xil radiusli, lekin barchasining markazi abstsisslar o'qi ustida yotgan aylanalarni ko'rsak, u holda butun aylanalar ichidan bir parametrli aylanalarni ajratib olgan bo'lamiz va … . Shunday qilib, bir parametrli ekstremallar to'plamini qaraymiz.Tenglamasi bo'lgan ekstremallar to'plami maydon hosil qilsin. Bu maydon ekstremallar maydoni deyiladi. Barcha ekstremallar A nuqtadan o'tgani uchun ko'rilayotgan ekstremallar maydoni markaziy maydondir. Parametr sifatida ekstremallar A nuqtadagi burchak koeffitsiyentlari ni qabul qilaylik. Shunday qilib (87) ekstremallar to'plami qaraladi. Bunday ekstremallar to'plami Lagranj yo'llari oilasi deyiladi. Maydonning ixtiyoriy nuqtasidagi og'malikni bilan belgilaylik. (88) Agar maydon berilgan bo'lsa, u holda funksiya aniqlangan bo'ladi. Agar funksiya maydon og'maligi bo'lsa, u holda maydonning o'zini topish mumkin. Haqiqatan, ekstremallar oilasi (88) tenglamani qanoatlantirishi kerak, bundan ularning tenglamalari aniqlanadi. Lekin funksiya ixtiyoriy bo'la olmaydi, u (88) tenglamani qanoatlantirishidan tashqari Eyler tenglamasining ham yechimi bo'lishi lozim. (88) dan ni aniqlaymiz: . Bu ifoda bilan (88) ni (8) ga qo'ysak ayniyatga kelamiz: (89) Demak, funksiya (89) tenglamaning yechimi ko'rinishida berilishi kerak ekan. (89) ni echib, funksiyani topgandan so'ng (88) ni echsak, ekstremallar maydoni topiladi. Transversallar maydoni Burchak koeffitsiyenti bo'lgan ekstremal bilan differensialli egri chiziq kesishganda (47) transversallik sharti bajarilsa, berilgan egri chiziq deyilgan edi. D maydon berilgan bo'lib, bu maydonda (1) integralga minimum qiymat beruvchi egri chiziq (87) ekstremallar oilasi ichida bo'lsin. Manna shu ekstremallar oilasining har bir chizig'ini transversal kesuvchi chiziq maydon transversali deyiladi. Berilgan ...