Eyler tenglamasining ba'zi bir integrallanish hollari

Eyler tenglamasining bazi bir integrallanish hollari Reja: 1. Integral ostidagi funksiya ko'rinishda bo'lgan hol. 2. Integral ostidagi funksiya ko'rinishda bo'lgan hol. 3. Integral ostidagi funksiya ko'rinishda bo'lgan hol. 4. Integral ostidagi funksiya ko'rinishda bo'lgan hol. 5. Braxistoxrona masalasi. 6. Eng kichik yuzli aylanish sirti masalasini yechish. 1. , bu holda (8) tenglama (10) va bo'ladi va bu to'g'ri chiziqlardir. 2. , bu holda (11) Bu tenglamani yechishdan oldin quyidagi ifodani ko'raylik: (12) Endi agar u Eyler tenglamasining yechimi bo'lsa, u holda (11) ni qanoaktlantirishi lozim va bunda (12) bundan (13) bo'lib, bu ifoda Eyler tenglamasining 1-integrali deyiladi. (13) 1-tartibli differensial tenglamaning yechimi bo'ladi. 3. , (7) tenglama quyidagi ko'rinishni oladi: (14) bundan (15) ko'rinishdagi 1-tartibli oddiy differensial tenglamaga kelamiz. Bu tenglamani integrallab, ushbu umumiy yechimni topamiz. 4. , bu holda (7) quyidagi ko'rinishni oladi: (16) Bu differensial tenglama emas. Tenglamani u nisbatan echib, ko'rinishdagi bita yoki bir nechta ekstremallarni topamiz. Bu holda variatsion masala umumiy qo'yilishda echilmaydi. A va V nuqtalar ixtiyoriy bo'la olmaydi. Ular alohida tanlangan bo'lishi kerak. 1. Braxistoxrona masalasi. Berilgan va nuqtalarni tutashtiruvchi chiziq bo'ylab moddiy nuqta o'z og'irligi ta'sirida tushadi. Chiziq qanday formada bo'lganda tushish vaqti eng qisqa bo'ladi? nuqta koordinata boshida, ordinatalar o'qi pastga, abstsissalar o'qi gorizontal yo'nalgan. Masalada izlanayotgan chiziq to'g'ri chiziq kesmasi bo'la olmaydi, chunki bu holda tushayotgan nuqtaning tezligi sust ortadi, undan tikroq bo'lgan egri chiziqning qismida esa harakat tezligi ortib, yo'lning ko'proq qismini kattaroq tezlik bilan o'tiladi, va demak, vaqt kamroq sarf bo'ladi. Harakatdagi nuqta t vaqtda holatda va tezlikka ega bo'lsin. Boshlang'ich tezlik desak, og'irlik kuchining bajargan ishi bo'lib, harakat tenglamasini yozsak bo'ladi, bunda harakatlantiruvchi kuchning dan ixtiyoriy t vaqtgacha bo'lgan orttirmasi. Sunggi tenglikdan va bo'lgani uchun moddiy nuqta harakatidagi elementar vaqt , Bu yerda o'zgarmas ko'paytuvchilarni etiborga olmasak, braxistoxrona masalasini yechish uchun integralga minimum qiymat beruvchi funksiyani topish kerak. Integralning quyi chegarasini nolga tenglab olamiz, chunki yo'lning bir uchini koordinatalar boshiga joylashtirilgan edik. Integral belgisi ostidagi funksiya ko'rinishda bo'lib, bu Eyler tenglamasi integrallash hollarining ikkinchisiga to'g'ri keladi. Shuning uchun tenglamaning birinchi integralini birdaniga quyidagi ko'rinishda yozamiz: . Buni (13) ga asosan yozgan bo'lsak ham, keyingi qadamlarni bajarishda sodda ifoda hosil qilish maqsadida o'ng tomondagi ixtiyoriy o'zgarmasni maxsus ko'rinishda oldik. So'nggi ifodadan: Butenglamani integrallash uchun deb, t parametrni qabul qilaylik; x ni ham shu parametr orqali ifodalasak, u holda yechimning ko'rinishdagi parametrik ifodasini topgan bo'lamiz. Shu maqsadda dan ni aniqlab, buni va ni ga qo'yamiz: . Bundan yoki integrallash natijasida ...