Golomorf funksiyalarning xossalari

Golomorf funksiyalarning xossalari Reja: Koshining integral formulasi. Golomorf funksiyaning istalgan tartibli hosilaga ega bo'lishi. Funksiyani Teylor qatoriga yoyish. Liuvil teoremasi. Koshi teoremasi. Agarfunksiya bir bog'lamli sohada golomorf bo'lsa, u holda funksiyaning sohada yqtuvchi har Qanday silliq (bo'lakli silliq) yopiq chiziq (yopiq kontur) bo'yicha integral nolga teng bo'ladi: Koshining integral formulasi. Agar va da uzluksiz bo'lsa, u holda uchun tenglik o'rinli bo'ladi. Golomorf funksiyaning istalgan tartibli hosilaga ega bo'lishi. Agar bo'lsa, u holda sohada istalgan tartibdagi hosilaga ega bo'lib , (1) bo'ladi. Bu yerda sohada yotuvchi (bo'lakli silliq) yopiq chiziq bo'lib, z esa chiziq bilan chegaralangan sohaga tegishli nuqta . Isbot. Koshining integral formulasiga ko'ra bo'ladi. z nuqtaga ∆z orttirma berib, funksiya orttirmasini topamiz: . Unda bo'ladi. Keyingi tenglikni quyidagicha yozib olamiz: Endi integralni baholaymiz. Ravshanki, bunda . Agar z nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani desak, unda bo'lib, (agarda etarlicha kichiq bo'lsa) (3) bo'ladi. Bu yerda chiziq uzunligi. ni e'tiborga olib, da (2) da limitga o'tib bo'lishini topamiz. Endi funksiyani olib uning uchun yuqoridagi mulohazalarni takrorlasak (4) tenglik hosil bo'ladi. Xuddi shu yo'l bilan uchinchi, to'rtinchi va hakozo tartibdagi hosilalarni mavjudligi ko'rsatiladi. funksiyaning n-tartibli hosilasi uchun (1) ni o'rinli bo'lishi matematik induksiya usuli yordamida isbotlanadi. Natija 1. Agar bo'lsa, bo'ladi. Natija 2. Agar funksiya sohada boshlang'ich funksiyaga ega bo'lsa, u holda sohada golomorf bo'ladi. Funksiyani Teylor qatoriga yoyish. Agar bo'lsa, u holda nuqtada (a nuqtaning atrofida) Teylor qatoriga yoyiladi: Isbot. ning chegarasini deylik. bo'ladi. Avvalo funksiyani quyidagicha yozib, so'ng bo'lishini e'tiborga olib topamiz: . (6) Bu geometrik qator bo'lib, uning maxraji ga teng. Ravshanki, uchun quyidagi tengsizlik o'rinli. Demak, (4) qator yaqinlashuvchi. (6) tenglikning har ikki tomonini ga ko'paytirib, so'ng chiziq bo'yicha integrallab, ushbu tenglikka kelamiz. (5) va (6) munosabatlardan bo'lishi kelib chiqadi. Integral ostidagi qatorning hadlari uchun tengsizlik o'rinli bo'ladi. Ravshanki, qator yaqinlashuvchi. Unda Veyershtrass alomatiga ko'ra funktsional qator da tekis yaqinlashuvchi bo'ladi. Binobarin, bu qatorni hadlab integrallash mumkin. Unda (7) tenglik ushbu ko'rinishga keladi. Yuqorida keltirilgan ma'lum teoremaga ko'ra bo'lishini topamiz. Natijada (8) va (9) tengliklardan bo'lishi kelib chiqadi. Bu esa funksiyani Teylor qatoriga yoyilganini bildiradi. Natija 3. Agar funksiya yopiq doirada golomorf bo'lib, bu doiraning chegarasi aylanada bo'lsa, u holda funksiya Teylor qatorining koeffitsentlari uchun tengsizlik o'rinli bo'ladi. Haqiqatan ham, (9) formuladan bo'lishi kelib chiqadi. Odatda (10) tengsizllik Koshi tengsizligi deyiladi. Liuvil teoremasi. Agar bo'lib, u chegaralangan bo'lsa, funksiya da o'zgarmas bo'ladi. Isbot. Golomorf funksiyaning xossasiga ko'ra, funksiya doirada ning darajalari bo'yicha Teylor qatoriga yoyiladi: bunda . Koshi tengsizligi ...