Grin formulasi va uning tadbiklari

Grin formulasi va uning tadbiqlari Grin formulasi. OXU tekislikda to'g'ri soha va uni chegaralovchi L yopiq egri chiziq berilgan bulsin. P (x, y) va Q (x, y) funksiyalar uzlarining xususiy hosilalari bilan birgalikda sohada uzluksiz funksiyalar bulsin. U holda ushbu Grin formulasi deb ataluvchi formula urinli: (1) Bu formulani keltirib chikaramiz: ikki karrali integralni karaymiz. yoy tenglamasi yoy tenglamasi u=(x) bulsin. U holda bu yerda integral , yoy bo'yicha olingan egri chiziqli integralga teng. , shunga o'xshash U holda = dan =-=-= == yoki =, xuddi shu tarzda = ni xam isbotlash mumkin. Demak, oxirgi ikkala tenglikni xadma-xad ayirsak -=- yoki Grin formulasi. T A ' R I F : A va V nuqtalar to'g'ri sohaga tegishli bo'lib, ularni tutuashtiruvchi turli egri chiziqlar bo'yicha olingan lar bir xil qiymatlar kabul kilsa, u integrallash yo'liga bog'liqmas deyiladi. TYeORYeMA : Biror D soha bo'yicha olingan egri chiziqli integral integrallash yo'liga bog'liq bulmasligi uchun bu sohada yotuvchi istalgan yopiq egri chiziq bo'yicha olingan integral nolga teng bo'lishi zarur va etarlidir. Bu teoremaning tadbiqini misolda ko'rib chiqamiz. bulsin va ni hisoblash talab kilinsin. U holda = = ; Bu yerda ikki xil qiymat chikdi,demak egri chiziqli integral qiymati integrallash yo'liga bog'liq ekan. Endi uning yopiq chiziq bo'yicha olingan integrali nolga teng bulmasligini kursatamiz, bu uchun Grin formulasidan foydalanamiz. . U holda = . Teorema to'g'ri ekanligini tasdiklaydi. TYeORYeMA : Egri chiziqli integral to'g'ri sohada integrallash yo'liga bog'liq bulmasligi uchun, bu sohaning xar bir nuqtasida shartning bajarilishi zarur va kifoyadir. Bu teorema shartlarining bajarilishini xam misolda ko'rib chiqamiz. integralning integrallish yo'liga bog'liqmasligini kursatamiz, bu uchun yana Grin formulasigi yoki yuqoridagi shartga murojaat kilamiz. Endi biror L1 va L2 chiziqlar bo'yicha egri chiziqli integrallarni hisoblab kuramiz a) b) Xakikatan xam yullar bo'yicha olingan integrallar teng bular ekan. Grin formulasi va uning tatbiqlari Reja: 10. Grin formulasi 20. Grin formulasining bazi bir tadbiqlari 30. Bazi tasdiqlarning ekvivalentligi. 10. Grin formulasi. Tekislikda ushbu hamda chiziqlar bilan chegaralangan to'pamni olaylik, bunda va funksiyalar da uzluksiz. (51-chizma) 51-chizma Ravshanki, ning chegarasi (kontori) quyidagi I, II, II, IV chiziqlarga ajraladi (bunda va chiziqlar nuqtalarga aylanishi mumkin). Aytaylik, da funksiya uzluksiz bo'lib, u uzluksiz xususiy hosilaga ega bo'lsin. Ushbu egri chiziqli integralni qaraymiz. Uni quyidagicha yozib olamiz. va chiziqlar o'qiga perpendikulyar bo'lganligi sababli bo'lib, bo'ladi. Endi, bo'lishini etiborga olsak, unda (1) tenglikka ega bo'lamiz. Faraz qilaylik, tekislikdagi to'pam shunday bo'lsinki, uni (vertikal chiziqlar yordamida) yuqoridagi kabi larga ajratish mumkin bo'lsin. (52-chizma) 52-chizma ...