Ikkincnchi tartibli differensial operatorlar

Ikkincnchi tartibli differensial operatorlar Reja: Ikkinchi tartibli gradientlar. Ikkinchi tartibli divergensiyalar. Egri chiziqli ortogonal koordinatalar kkincji tartibli gradientlar quyidagi ko'rinishlarda bo'lishi mumkin: gradgradU graddivA gradrotA Ma'lumki, gradient ostida doim skalyar funksiya turadi, natija esa doim vektor bo'ladi. Shuning uchun yuqoridagi uchta ikkinchi tartibli differensial operatorlardan birinchi va uchinchilari ma'noga ega emas, chunki, birinchi operatordagi gradient va uchinchi operatordagi rotordan vektor hosil bo'ladi. Shunday qilib, faqat bitta ikkinchi tartibli gradient bo'lishi mumkin: graddiv Ikkincji tartibli divergansiyalar quyidagi ko'rinishlarda bo'lishi mumkin: divgradU divdivA divrotA Ma'lumki, divergansiya ostida doim vektor funksiya turadi, natija esa doim skalyar bo'ladi. Shuning uchun yuqoridagi uchta ikkinchi tartibli differensial operatorlardan birinchi va uchinchilari ma'noga ega, ikkinchisi ma'noga ega emas. Chunki, birinchi operatordagi gradient va uchinchi operatordagi rotordan vector, ikkinchi operatordagi divergensiyadan skalyar hosil bo'ladi. Shunday qilib, faqat ikkita ikkinchi tartibli divergensiya bo'lishi mumkin: divgradU divrotA Ularni hisoblaymiz: Demak ikkita ikkinchi tartibli divergensiya mavjud bo'lib, ulardan biri nolga, ikkinchisi Laplas operatoriga teng. Ikkincji tartibli uyurmalar quyidagi ko'rinishlarda bo'lishi mumkin: rotgradU rotdivA rotrotA Ma'lumki, uyurma ostida doim vektor funksiya turadi, natija esa doim vektor bo'ladi. Shuning uchun yuqoridagi uchta ikkinchi tartibli differensial operatorlardan birinchi va uchinchilari ma'noga ega, ikkinchisi ma'noga ega emas. Chunki, birinchi operatordagi gradient va uchinchi operatordagi rotordan vector, ikkinchi operatordagi divergensiyadan skalyar hosil bo'ladi. Shunday qilib, faqat ikkita ikkinchi tartibli uyurma bo'lishi mumkin: rotgradU rotrotA Ularni hisoblaymiz: Demak ikkita ikkinchi tartibli rotor mavjud bo'lib, ulardan biri nolga teng. Shunday qilib, beshta ikkinchi tartibli differensial operatotlar mavjud bo'lib, ulardan ikkitasi nolga teng , uchtasining ifodasi yuqorida keltirildi. Egri chiziqli ortogonal koordinatalar Ma'lumki, fizikada asosan to'g'ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasi (x, y, z) bilan ish ko'riladi. Lekin ba'zi masalarni yechishda Dekart koordinatalari sistemasi o'rniga boshqa egri chiziqli koordinatalardan foydalanish qulayroq bo'ladi. Masalan, sharsimon sirtlarda harakatlanayotgan moddiy nuqta harakatini Dekart koordinatalari o'rniga sferik koordinatalarda o'rganish, trubasimon sirtlarda harakatlanayotgan moddiy nuqta harakatini silindrik koordinatalar sistemasida o'rganish ancha qulay bo'ladi. Egri chiziqli koordinatalar umumiy holda q1, q2, q3 bilan, bu koordinatalardagi birlik vektorlar (ortlar) e1, e2, e3 bilan belgilanadi va ortogonal koordinatalar deyiladi. Bu koordinatalarning har biri Dekart koordinatalariga bog'liq: q1= q1(x, y, z), q2= q2(x, y, z), q3= q3(x, y, z). Ortogonal koordinatalardan Dekart koordinatalariga va aksincha o'tish uchun Lame koffisiyentlaridan foydalaniladi: Ortogonal egri chiziqli koordinatalarda uzunlik elementlari yuza elementlari xajm elementi , radius vektor elementi Masalan, silindrik koordinatalar Dekart koordinatalari bilan ifodalar orqali bog'langan. Silindrik koordinatalar uchun Lame koeffisiyentlarini aniqlaymiz: U holda silindrik koordinatalarda uzunlik, yuza, xajm hamda radius vektor ...