Kompleks sonlar

Kompleks sonlar Reja: Kompleks son tushunchasi. Kompleks sonning ko'rinishlari. Kompleks sonni darajaga ko'tarish va undan ildiz chiqarish. Kompleks son tushunchasi. Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasi berilgan bo'lsin. Abstsissalar o'qida joylashgan nuqtalar to'plamini Rx, ordinatalar o'qida joylashgan nuqtalar to'plamini Ry orqali belgilaylik. Ixtiyoriy xRx, yRy haqiqiy sonlardan (x,y) juftlikni hosil qilamiz. Bunda, agar y=0 bo'lsa, (x,0) =x deb qaraymiz. Bunday juftliklardan tashkil topgan C=(x,y): xRx, yRy to'plamda arifmetik amallar kiritilishi mumkin. Agar (x1,y1)C, (x2,y2)C juftliklar uchun x1=x2, y1=y2 bo'lsa, bu juftliklar o'zaro teng deyiladi va (x1,y1)=(x2,y2) kabi belgilanadi. (x1,y1)C va (x2,y2)C juftliklarning yig'indisi quyidagicha aniqlanadi: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+ y2) (x1,y1)C va (x2,y2)C juftliklarning ayirmasi ham quyidagicha aniqlanadi: (x1, y1) - (x2, y2) = (x1-x2, y1- y2) Ko'paytirish va bo'lish amallari ham mos ravishda quyidagicha aniqlanadi. (x1,y1)(x2,y2)=(x1x2-y1 y2, x1y2+x2y1) Shunday qilib, C to'plam elementlari ustida to'rt amal qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish amallari kiritildi. Bu amallar quyidagi xossalarga ega: 1.Kommutativlik 2.Assotsiativlik 3.Distributivlik 4.Yuqorida keltirilgan C=(x,y): xRx, yRy to'plam elementlari ustida arifmetik amallarning bajarilishi va ularning 1-3 xossalarga ega ekanligi, tabiiy ravishda C to'plam elementlarini son deb qarash imkonini yuzaga keltiradi. Odatda, C to'plam elementi (x,y) juftlik kompleks son deyiladi va u bitta harf bilan belgilnadi. z=(x,y) Demak, c to'plam kompleks sonlar to'plamini ifodalar ekan. Ma'lumki, xRx uchun (x,0)=x Bu esa haqiqiy son kompleks sonning xususiy holi ekanini bildiradi. Demak, RxC Kompleks sonning ko'rinishlari. 1. Algebraik ko'rinishi. (0,1) juftlikni olib, uni i bilan belgilaymiz va bu belgini mavhum birlik deb ataymiz. i i = i2 = - 1 bo'ladi. Haqiqatan ham i2= (0,1) (0,1) = (0,-1)=-1 i belgisi yordamida z=(x,y) kompleks sonni algebraik shaklda z = x + i y (1) ko'rinishda yozish mumkin. Chunki z=(x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+iy z=x+iy bo'lsa, x - z kompleks sonning haqiqiy qismi deyiladi va xqRe z kabi belgilanadi. y - z kompleks soninig mavhum qismi deyiladi va uqIm z kabi belgilanadi. Z=x+iy kompleks son berilgan bo'lsa, x-iy kompleks son uni qo'shmasi deyiladi va orqali belgilanadi: Quyidagi tengliklar o'rinlidir: Eslatma: n ta z1, z2, . . . ,zn kompleks sonlarning yig'indisi hamda ko'paytmasi yuqoridagidek kirtiladi va ular uchun mos xossalar hamda tengliklar o'rinli bo'ladi. Jumladan, bo'ladi. Trigonometrik ko'rinishi. Ixtiyoriy z = x + i y (1) kompleks sonni olaylik. Tekislikda, koordinatalari x va y bo'lgan M(x,y) nuqtani qaraymiz. Ma'lumki, shu M nuqtaning radius-vektori deyiladi. Bu radius-vektorning uzunligi r, uning Ox o'qi bilan tashkil etgan burchagi bo'lsin. Chizmada tasvirlangan OMB to'g'ri burchakli uchburchakdan quyidagilarni topamiz: Unda (1) ko'rinishdagi ...