Kompleks sonning geometrik tasviri, kompleks tekislik. Riman sferasi

Kompleks sonning geometric tasviri kompleks tekislik riman sferasi Reja: Kompleks tekislikda chiziqlar va sohalar. Kompleks sonli ketma-ketliklar va qatorlar. Kompleks sonning geometric tasviri Ixtiyoriy kompleks sonni olaylik. Bu (x,y) juftlik bilan aniqlansin: Tekislikda absissasi x ga, ordinatasi esa y ga teng bo'lgan nuqta z kompleks sonning geometrik tasviri deyiladi. Xususan, (x, 0) = x ko'rinishdagi kompleks sonning geometrik tasviri absissalar o'qida joylashgan nuqta bo'ladi. (0, y) = iy ko'rinishdagi kompleks sonning geometrik tasviri esa ordinatalar o'qida joylashgan nuqta bo'ladi. Absissalar o'qi haqiqiy o'q, ordinatalar o'qi esa mavhum o'q deb yuritiladi. Demak, C to'plamdan olingan har bir kompleks songa tekislikda, bu sonni geometrik tasvirlovchi bitta nuqta mos kelar ekan. Endi tekislikda ixtiyoriy nuqta olaylik. Uning absissasi x, ordinatasi y bo'lsin. Bu sonlardan tuzilgan (x, y) juftlik bitta kompleks sonni aniqlaydi. Olingan nuqtaga shu kompleks sonni mos qo'yish bilan tekislikdagi har bir nuqtaga bitta kompleks son mos kelishini aniqlaymiz. Shunday qilib, C bilan tekislikdagi barcha nuqtalar to'plami orasida o'zaro bir qiymatli moslik o'rnatildi. Bu esa C to'plamning geometrik tasvirini tekislik deb qarash imkonini beradi. Bunday tekislik kompleks sonlar tekisligi deb ataladi va u ham C kabi belgilanadi. Kompleks sonni boshqacha ham tasvirlash mumkin. Buning uchun fazoda Dekart koordinatalar sistemasini olib, unda markazi nuqtada, radiusi ga teng bo'lganushbu (9) sferani qaraymiz. Ravshanki, bu sfera o'qni (0,0,0) hamda N(0,0,1) nuqtalarda kesadi. N (0,0,1) nuqtani shimoliy qutb deb ataymiz. x va y uqlarni mos ravishda va o'qlariga ustma-ust kuyamiz. xOy kompleks tekislikdagi nuqta bilan shimoliy N qutbni nur yordamida tutashtiramiz. Natijada nur S sferani qandaydir Z nuqta da kesadi. Biz moslikka ega bo'lamiz. Shunday qilib, kompleks tekislikdagi barcha nuqtalar to'plami bilan sferaning nuqtalari to'plami o'zaro bir qiymatli moslikda bo'lar ekan. Kompleks tekislikdagi z nuqta koordinata boshidan uzoqlasha borgan sari uning sferadagi tasviri N nuqtaga yaqinlasha boradi. Agar kompleks tekislikda nuqta olinsa va uni sferadagi N ga mos keluvchi nuqta deb qaralsa, unda to'plam bilan S sfera nuqta laridan iborat to'plam uzoro bir kiymali moslikda bo'ladi. Bu moslik kompleks tekislikdaning stereografik proyeksiyasi deyiladi. Odatda to'plam kengaytirilgan kompleks tekislik, S sirt esa Riman sferasi deb ataladi.Sferadagi nuqta koordinatalari bilan kompleks tekislikdagi mos nuqtalar koor-dinatalari orasidagi bog'lanishni topaylik. Ravshanki, N(0,0,1) hamda nuqtalar orqali o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagicha (10) bo'ladi, bunda t=0 da N nuqta, t=1 da z nuqta hosil bo'ladi. Kompleks tekislikdagi z nuqta koordinatalari ma'lum bo'lganda Z nuqta koordinatalari lar quyidagicha aniqlanadi. Ma'lumki nuqta ham S sferada yotadi. Shuni e'tiborga olib, larni sfera tenglamasi dagi larning ...