Optimal boshqarish masalasi

Optimal boshqarish masalasi Reja: Optimal boshqarish masalasining qo'yilishi 2. Pontryaginning maksimum prinsipi 3. Maksimum prinsipi va variatsion hisob. Boshqariladigan biror obyektning harakati ushbu normal avtonom differensial tenglamalar sistemasi bilan berilgan bo'lsin: yoki (1) bBu yerda - har bir momentda obyektning holatini aniqlovchi miqdorlar bo'lib, p - o'lchovli holatlar fazosi X da o'zgaradi; boshqarish parametrlari, ular boshqarish sohasi deb ataluvchi o'lchovli sohadan qiymatlar qabul qiladi. Biror oraliqda boshqarish usuli aniqlangan bo'lishi uchun shu oraliqda boshqarish parametrlari vaqtning funksiyasi sifatida berilgan bo'lishi etarli. (1) tenglamalar sistemasida va funksiyalar to'g'ri ko'paytmada uzluksiz bo'lsin deb faraz qilamiz. Endi optimal masala qo'yilishi uchun zarur bo'lgan bazi tushunchalarni kiritaylik. 1-ta'rif. sohada qiymatlar qabul qiluvchi va bo'yicha biror oraliqda aniqlangan har bir funksiya boshqarish funksiyasi deyiladi. 2-ta'rif. Mumkin bo'lgan boshqarish deb sohada qiymatlar qabul qiluvchi shunday bo'lakli-uzluksizfunksiyaga aytiladiki, bu funksiya uzilish nuqtalarida shartni qanoatlantiradi hamda nuqtalarda uzluksiz bo'ladi. Biror mumkin bo'lgan boshqarish berilgan deylik. U holda berilgan (1) vektor tenglama bunday yoziladi: (2) Agar ushbu boshlang'ich shart berilgan bo'lsa, va funksiyalar to'g'ri ko'paytmada uzluksiz bo'lganida edi, (2) tenglama yagona yechimi aniqlanar edi. Ammo funksiya oraliqda bo'lakli-uzluksiz bo'lgani sababli yechim haqida to'xtalishga to'g'ri keladi. Avvalo yechim oraliqda aniqlanmagan bo'lishi mumkin. Yana funksiya uzluksiz differensiallanuvchi, funksiyaning uzilish nuqtalarida esa differensiallanuvchi bo'lmasligi mumkin. 3-ta'rif. Agar biror mumkin bo'lgan boshqarish , , uchun (2) tenglamaning unga mos yechimi boshlang'ich shartni qanoatlantirishi bilan birga oraliqda aniqlangan bo'lib, u holda boshqarish holatdan holatga o'tkazadi deyiladi. Endi yana bitta funksiya berilgan bo'lib, , funksiyalar to'g'ri ko'paytmada uzluksiz bo'lsin. Optimallash boshqarish asosiy masalasinig qo'yilishi. Holatlar fazosi X da va nuqtalar berilgan. Nuqtani holatdanholatga o'tkazuvchi barcha mumkin bo'lgan boshqarish funksiyalari , ichidan (3) funksionalga eng kichik qiymat beruvchisi topilsin, bu yerda momentlar avvaldan berilmagan. Qo'yilgan masalaning yechimi bo'lgan , funksiya optimal boshqarish funksiyasi, unga mos kelgan , traektoriya esa optimal traektoriya deyiladi. Agar bo'lsa, bo'lib, eng kam vaqt ichida boshqarish masalasiga kelamiz. belgilashni kiritaylik, u holda , bo'ladi. Shu sababli (1) va (3) quyidagicha yoziladi: (4) Bu holda qo'yilgan boshqarish masalasi shunday boshqarish funksiyasini topishdan iborat bo'ladiki, (4) sistemaning u funksiyaga mos kelgan va shartlarni qanoatlantirgan yechimi ga minimum qiymat beradi. Pontryaginning maksimum prinsipi prinsipni bayon etishdan oldin bazi yordamchi mulohazalarni kiritamiz. Berilgan (1) sistemadan boshqa yana quyidagi sistemani qaraymiz: , (5) - yordamchi nomalum funksiyalar. Agar biror mumkin bo'lgan , boshqarish funksiyasi tanlangan bo'lib, funksiya boshlang'ich shartni qanoatlantiruvchi unga mos traektoriya bo'lsa, u holda (5) sistema oraliqda aniqlangan, boshlang'ich qiymatlari ixtiyoriy bo'lgan yagona yechimga ega. ...