Ortogonal bazis ortogonnalashtirish jarayoni

Ortogonal bazis ortogonnalashtirish jaraeni Reja: 1. Ortogonal bazis. 2. nuqtadan qism fazoga o'tkazilgan perpendikulyar. Nuqtadan qism fazogacha bo'lgan eng qisqa masofa. 1. Ortogonal bazis. Yevklid fazosida eng qulay bazislar borki, ular ortogonal bazislardir. Bu yerda ular analitik geometriyadagi to'g'ri burchakli koordinatalar sistemasi kabi rol uynaydi. ta'rif-1. Agar xech biri nolga teng bo'lmagan vektorlar juft-jufti bilan ortogonal bo'lsa, u holda ular n o'lchamli V evklid fazosidan V da ortogonal bazis tashkil qiladi deyiladi. Agar vektorlar jufti-jufti bilan ortogonal bo'lib, har birining uzunligi 1 ga teng bo'lsa, yani (1) tenglik bajarilsa, u holda ular normallangan ortogonal bazis hosil qiladi deyiladi. Ortogonal bazisga biz bergan bu ta'rifning to'g'ri bo'lishi uchun, ta'rifga kirgan vektorlarning haqiqatan ham bazis tashkil qilishini, yani ular chiziqli erkli ekanligini isbot qilishimiz zarur. Buni isbot qilamiz, yani (2) tenglikning bo'lsagina o'rinli bo'lishi mumkin ekanligini ko'rsatamiz. (2) tenglikning ikkala tomonini ga skalyar ko'paytiramiz. U holda tenglikni hosil qilamiz. Ammo ortogonal bazis ta'rifiga asosan: bo'lganda . Demak, . Shunga o'xshash, (2) ni ga skalyar ko'paytirib, bo'lishi kerakligini topamiz va hakozo. Shunday qilib, biz vektorlarning chiziqli erkli ekanligini isbot qildik. Ortogonal bazislar mavjudligini biz ortogonallash jarayonni deb ataladigan protsess yordami bilan isbot qilamiz. Bu jarayon ixtiyoriy bazis bo'yicha ortogonal bazis yasash usulini beradi. Teorema-1. Har qanday n o'lchamli evklid fazosida ortogonal bazislar mavjuddir. Isbot. n o'lchamli fazoning ta'rifiga muvofiq unda biror bazis mavjuddir. vektorlardan ortogonallash jarayoni yordamida juft-jufti bilan ortogonal bo'lgan n ta vektor yasaymiz. bo'lsin deb faraz qilaylik. vektorni ko'rinishda izlaymiz. sonni shunday tanlab olamizki, , yani bo'lsin. Bundan kelib chikadi. Jufti-jufti bilan ortogonal bo'lgan va noldan farqli vektorlar yasalgan deb faraz qilaylik. vektorni (3) shaklda izlaymiz, yani vektorni yasalgan vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi yordamida vektoraga «tuzatish» kiritish yo'li bilan undan ( dan) hosil qilamiz. koeffitsiyentlarni vektor bilan vektorlarning ortogonalligi shartidan topamiz: vektorlar juft-jufti bilan ortogonal bo'lganliklari uchun, u tengliklar ushbu ko'rinishda yoziladi: Bulardan Shu joyga kelguncha vektorlarning chiziqli erkliligidan foydalanilgani yuq. Yasalgan vektorning noldan farqli ekaniin isbot qilishda bundan foydalanamiz. Hozircha vektor , vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi ekaniga etibor berib o'taylik. Ammo vektorni vektor, hamda vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi bilan almashtirish mumkin va hokazo. Shunday qilib, biz vektorni ushbu ko'rinishda yozilishini topamiz: . (5) Endi ekani ravshandir. Haqiqatan ham, aks holda (5) tenglikning o'ng tarafi nolga teng bo'lar edi. Bu esa vektorlarning chiziqli erkliligiga zid bo'lar edi. Shunday qilib, hamda vektorlarga ko'ra vektorni yasadik. Xuddi shunga o'xshash, hamda larga ko'ra ni yasaymiz va hakozo. Bu jarayonni berilgan vektorlar tamom bo'lguncha davom qildirib, biz noldan ...