O'yinlar nazariyasi

O'yinlar nazariyasi Reja: 1. Matritsali o'yinlar 2. Matritsali o'yinni chiziqli dasturlash masalasiga keltirish 1. Matritsali o'yinlar Ishlab chiqarish va iqtisodiyot sohasida ko'plab amaliy masalalarni yechishda konflektli jarayonlar (situatsiya) kelib chiqadi. Konflektli jarayonlar o'z ichiga juda ko'plab omillarni oladi. Ko'p hollarda jarayonni o'rganish qulay bo'lishi uchun asosiy omillarni hisobga olib, ikkinchi darajali omillarni hisobga olmay uning matematik modelini tuzamiz. Bunday konflekt jarayonning qisqartirilgan modeli o'yin deyiladi. O'yin aniq bir qoidaga binoan olib boriladi. O'yin ma'nosi shundan iboratki har bir qatnashuvchi shunday bir yechimni qabul qiladiki, u o'yin oxirida eng yaxshi natijaga erishsin. O'yin natijasi (isxod) - bu bir necha funksiyalar qiymati bo'lib, unga yutuq funksiyasi yoki to'lov funksiyasi deyiladi. Agar o'yinchilar yutuq summasi nolga teng bo'lsa, unda o'yinga nolinchi summali o'yin deyiladi. Har qanday juft o'yinni matritsa ko'rinishida ifodalash mumkin (7.1) Aytaylik, matritsaning qatorlari birinchi o'yinchining mumkin bo'lgan A1, A2, …, Am yurishlarini, ustunlari esa ikkinchi o'yinchining mumkin bo'lgan B1, B2, …, Bm yurishlarini aniqlasin. A matritsaga to'lov yoki yutuq matritsasi deyiladi. Matritsaning har bir aij elementi birinchi o'yinchi Ai yurishni tanlab, ikkinchi o'yinchi Bj yurishni tanlagandagi birinchi o'yinchining yutug'ini (ikkinchi o'yinchining yutqazuvini) anglatadi. O'yinning maqsadi birinchi o'yinchini maksimal yutuqqa va ikkinchi o'yinchini minimal yutqazishga erishishni ta'minlash uchun eng ma'qul strategiyani tanlashdan iborat. Agar birinchi o'yinchi biror Ai strategiyani tanlasi, u hech bo'lmaganda yutuqqa erishadi. Buni hisobga olib, bu o'yinchi o'zining eng kam yutuqlarini maksimallashtiruvchi, ya'ni tenglikni ta'minlovchi yurishni tanlaydi. Bu yerda kattalik o'yinning quyi bahosi va unga mos strategiya maxsmin deyiladi. Ikkinchi o'yinchi, o'z navbatida, o'zining eng katta mumkin bo'lgan yutqazuvlarini minimallashtiruvchi, ya'ni tenglikni ta'minlovchi yurishni tanlaydi. Bu yerda kattalik o'yinning yuqori bahosi va unga mos strategiya minimax deyiladi. Agar = bo'lsa, ya'ni tenglik bajarilsa, u holda V o'yinning bahosi deyiladi. Bu shartni qanoatlantiruvchi A matrsaning aij elementiga o'yinning egar nuqtasi deyiladi. Demak, matritsali o'yin egar nuqtaga ega bo'lsa, uning yechimi maxsmin va minimax usullari bilan topiladi. 1 misol. Berilgan matritsali o'yin uchun quyi va yuqori baholarni hamda o'yinning optimal bahosini toping. Matritsa qatoridagi eng kichik elementlar quyidagilardan iborat: Demak, o'yinning quyi bahosi (7.2) bo'ladi. Endi har bir ustundagi eng katta elementni topamiz. U holda, o'yinning yuqori bahosi quyidagiga teng bo'ladi. (7.3) Bu o'yinning quyi va yuqori baholari o'zaro teng bo'lgani uchun o'yinning optimal bahosi V==5 bo'ladi. Bu bahoni ta'minlovchi a31 element o'yinning egar nuqtasi va A3 va B1 strategiyalar optimal strategiya bo'ladi. Agar yutuqlar matritsasi egar nuqtaga ega bo'lmasa, u holda maksmin va minimax usullar bilan o'yinning yechimini topib ...