Shartli estremumning ikkinchi turi

Shartli estremumning ikkinchi turi Reja: 1. Bog'lamli masalalar. 2. Izoperimetrik masala. (17) integralga ekstremum qiymat beruvchi funksiyalar (63) chegaraviy shartlarga bo'ysunishidan tashqari quyidagi tenglamani ham qanoatlantirsin. (64) Geometrik nuqtai nazardan: (64) bilan tayin berilgan, ekstremal tenglamani qanoatlantirishi u shu sirt ustida to'la yotadi so'zdir; (63) chegaraviy shartlarga bo'ysunishi esa A va V nuqtalar (64) sirt ustida bo'lib, ekstremal shu nuqtalardan o'tishidir. Shunday qilib, sirt ustida to'la yotib, sirtning A va V nuqtalaridan o'tuvchi chiziqlar ichidan (17) integralga ekstremal qiymatberuvchvi chiziqni topish talab qilinadi. Bundagi (64) sirt ekstremalning erkini chegaralovchi bo'lgani uchun bog'lam deyiladi, tenglamaning o'zi esa bog'lam tenglamasi deyiladi. Izlanayotgan debfaraz qilamiz. (64) ni ga nisbatan yechish mumkin (65) Buni (17) ga qo'ysak, quyidagi ko'rinishdagi integralga kelamiz: (66) (66) integral belgisi ostidagi funksiya ning funksiyasi bo'lib, bu integralga ekstremal qiymat beruvchi chiziq ikki uchi A va V biriktirilgan tekis chiziq bo'ladi. Bu chiziq izlanayotgan fazoviy chiziqning tekislikdagi proyeksiyasidir. Demak, (66) ga ekstremum qiymat beruvchi chiziqni unga mos Eyler tenglamasining yechimlari ichidan izlashimiz lozim. Qulaylik uchun integral ostidagi funksiyani orqali belgilaylik, bu holda Eyler tenglamasi quyidagi ko'rinishni oladi: (67) Bu tenglamadagi hosilalarni F funksiyaga nisbatan, (65) ni ko'zda tutib, hisoblaymiz: , , Bularni (67) ga qo'ysak: (68) 2-tomondan, (64) tenglamani u ga nisbatan differensiallasak, (69) (68) va (69) tenglamalardan ni yo'qotib, quyidagiga kelamiz: (70) (70) ni belgilaylik, u holda quyidagi tenglamalar hosil bo'ladi: (71) Bu tengliklarning bajarilishi (66) ning ekstremal qiymatga ega bo'lishining zaruriy shartidir. Agar quyidagi belgilashni qabul qilsak, (72) funksiya larga bog'liq bo'lmagani sababli (71) larni quyidagi 2 ta tenglama bilan almashtirsak bo'ladi: (73) Demak, masalaning yechimi integral belgisi ostidagi funksiya (72) ko'rinishda bo'lgan funksionallarning shartsiz ekstremumi bo'lar ekan. Chegaraviy shartlar, yani A va V nuqtalardan ekstremalning o'tish zarurligi buerda ham albatta o'rinlidir.Lekin bu shart barcha variatsion masalalarda ishtirok etib kelgani uchun bu yerda shartsiz ekstremum deyilganda bu masalani boshqa variatsion masalalardan farqlovchi (64) kabi shartning (72) funksional uchun ishtirok etmasligi ko'zda tutiladi. Bundan shart umuman ishtirok etmas ekan degan fikr kelmaydi, quyida bu narsa yanada oydinlashadi. (73) ning yechimi 2 ta integrallash o'zgarmasi va bitta noaniq funksiya ishtirok etadi; bularni aniqlash uchun 3ta shartga egamiz, bular 2 ta chegaraviy shart va bog'lam tenglamasi. Amalda bog'lam tenglamasidan va (73) tenglamalarning biridan z ni topib, 2-siga qo'ysak, u ga nisbatan bitta 2-tartibli tenglamaga ega bo'lamiz. Bu tenglama yechimidagi integrallash o'zgarmaslari ni shartlardan aniqlanadi. Yuqorida qilingan mulohazalarni umumiyroq masalalarga ham ko'chirish mumkin. (74) bog'lamlar mavjudligida (75) funksionalga ekstremum qiymat beruvchi funksiyalarni ...