Simmetrik ko'phadlar

Simmetrik ko'phadlar Reja: Simmetrik ko'phadlar ta'rifi va misollar. Simmetrik ko'phadlar haqidagi asosiy teoremani ayting va isbotlang. Simmetrik ko'phadlar haqidagi asosiy teoremadan kelib chiqadigan natijalarni ayting. Umumiy holda quyidagi yo'l bilan simmetrik ko'phadlarni hosil qilish mumkin. Ixtiyoriy gA[y1,y2,,yn] ko'phadni olish va y1,y2,,yn o'rniga mos s1,s2,,sn larni qo'yish lozim, natijada quyidagi simmetrik ko'phad hosil bo'ladi f(x1,x2,,xn) = g(s1(x1,x2,,xn),,sn(x1,x2,,xn)) Ko'ramizki, g ga kiruvchi y1i1ynin , yk = sk(x1,,xn) o'rniga qo'yishda i1+2i2++nin darajali bir jinsli x1,x2,,xn larning ko'phadi bo'ladi, chunki deg sk = k, i1+2i2++nin yig'indi odatda y1i1ynin birhadning o'lchovi deyiladi. g(y1,,yn) ko'phadning o'lchovi deb esa tabiiyki unga kiruvchi birhadlarning o'lchovlarini eng kattasiga aytiladi. Simmetrik ko'phadlar haqidagi asosiy teorema. 1-teorema. fA[x1,,xn] - А halqa ustidagi m darajali simmetrik ko'phad bo'lsin. U holda shunday yagona m o'lchovli gA[y1,y2,,yn] ko'phad mavjudki, uning uchun f(x1,x2,,xn) = g(s1(x1,x2,,xn),,sn(x1,x2,,xn)). bo'ladi. Isbot ikki qismdan iborat bo'ladi. I. g ko'phadning mavjudligi.Ikki n va m parametrlar bo'yicha induksiyadan foydalanamiz. n =1 da teorema ravshan, chunki s1= x1 va f(x1) = f(s1). Faraz qilaylik, g funksiyaning mavjudligi n-1 o'zgaruvchi uchun isbotlangan bo'lsin, n o'zgaruvchi bo'lgan holda induksiya bo'yicha m = deg f ga nisbatan isbotlaymiz. Agar m = 0 bo'lsa bo'lsa isbot qiladigan hech narsa yo'q, shu sababli m 0 deb olamiz va g mavjudligi ixtiyoriy m darajali ko'phad uchun isbotlangan deb olamiz. Endi f(x1,,xn)- m darajali simmetrik ko'phad bo'lsin. xn = 0 deb olamiz, induktiv farazimizga ko'ra f(x1,x2,,xn-1,0) = g1((s1)0,,(sn-1)0), bunda g1-biror A[y1,,yn-1] dagi o'lchovi esa m ( f ning darazasi xn = 0 qo'yish natijasida pasayishi mumkin) bo'lgan ko'phad, (s1)0,,(sn-1)0 - esa x1,,xn-1 larning elementar simmetrik ko'phadi. Bunda ravshanki, deg g1(s1,,sn-1) m. Ushbu f1(x1,,xn)= f(x1,,xn)-g1(s1,,sn-1) (1) ko'phadning x1,,xn bo'yicha to'la darajasi m dan katta emas va ( ikkita simmetrik ko'phadlarning ayirmasi sifatida) simmetrik ko'phad bo'ladi. Bundan tashqari, f1(x1,,xn-1,0) = 0, bundan esa, f1 ni xn ga bo'linishi kelib chiqadi: f1 = xnf0.Simmetrik ko'phad ekanligidan esa f1 = -1f1 = x(n)(-1f0), Sn , ya'ni f1 x1,x2,,xn ko'phadlarni o'z ichiga olishi kelib chiqadi, demak u ularning ko'paytmasini sn = x1x2xn ni o'z ichiga oladi.Shunday qilib, f1(x1,,xn) = snf2(x1,,xn), (2) bunda f2 - ya'na simmetrik ko'phad bo'ladi va uning darajasi esa deg f2 = deg f1-n m-n bo'ladi. Induktiv farazimizga ko'ra shunday g2(y1,yn) ko'phad mavjud va uni o'lchovi m-n , hamda f2(x1,,xn) = g2(s1,,sn). (1) va (2) dan, u holda f uchun quyidagi ifodani olamiz f(x1,,xn) = g(s1,,sn-1)+sng2(s1,,sn), Demak, shunday g = g1(y1,,yn)+yng2(y1,,yn) ko'phad mavjud va uni o'lchovi m.Shunday qilib,agar deg f ...