Sirtning urinma tekisligi va normali

Sirtning urinma tekisligi va normali Reja: 1. Urinma tekislik Ta'rifi. 2. Urinma tekislikning yagonaligi xaqidagi teorema. 3. Urinma tekislik tenglamalari. 4.Sirtning normali va uning tenglamasi. Aytaylik F sirt va unda yotuvchi R nuqta olaylik. R nuqta orqali ( tekislikni o'tkazamiz. Sirt ustida R nuqtaga yaqin Q nuqtani olamiz. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: =(Q,)=h, (Q, р)=d. Ta'rif. Agar Q nuqta R nuqtaga intilganda hd 0 ga intilsa( tekislikni F sirtning R nuqtasidagi urinma tekisligi deyiladi. Teorema. Xar qanday F silliq sirt o'zining xar bir nuqtasida urinma tekislikka ega bo'lib, u yagonadir. Agar r=r(u,v) tenglama F sirtning silliq parametrlangan bo'lsa, R nuqtadagi urinma tekislik ru va rv vektorlarga dir. Isbot. Faraz qilaylik ( tekislik F sirtning R nuqtasidagi urinma tekisligi bo'lsin. U xolda ta'rifga asosan Q(r da (hd)(0 bo'ladi. Agar n orqali ( tekislikning normal birlik vektorini belgilasak d=|r(u+u, v+v)-r(u,v)| h=|(r(u+u, v+v)-r(u,v))n| bo'ladi. Bundan (hd)= |(r(u+u, v+v)-r(u,v))n||r(u+u, v+v)-r(u,v)| nisbat 0 ga intiladi. Ta'rifga asosan (u va (v larning xar biri aloxida 0 ga intilganda (hd)(0 bo'ladi. Xususan, (|(r(u+u, v)-r(u,v))n||r(u+u, v)-r(u,v)|)0 Lekin oxirgi ifodani surat va maxrajini u ga бo'либ, u0 da limitga o'tsak, (|ru(u,v)n||ru(u,v)|)0 ni topamiz. Demak, ru(u,v)n=0. Bundan run kelib chiqadi. Bu esa ru vektorni tekislikka parallel ekanini ko'rsatadi. Xuddi shuningdek rvn=0 dan rv n ni yoki rv ekanini topamiz. Agar ru va rv vektorlarni 0 dan farqli va [ru, rv]0 ekanini etiborga olsak, urinma tekislikning yagonaligi kelib chiqadi. Shuningdek urinma tekislikning mavjud ekandigini xam ko'rsatish oson. Urinma tekislikning tenglamalari. Faraz qilaylik F sirt x=f1(u,v), y=f2(u,v), z=f3(u,v) (1) parametrik tenglamalar bilan berilgan bo'lsin. Р(x0,y0,z0) nuqtadagi urinma tekislikning o'zgaruvchi nuqtasi A(x,y,z) bo'lsin. U xolda yukorida isbot qilingan teoremaga asosan , , vektorlar komplanar bo'ladi. Komplanarlik shartiga asosan ulaning aralash ko'paytmasi 0 ga teng bo'ladi. Bundan urinma tekislikning tenglamasini quyidagi ko'rinishda yozamiz. =0 (2) Agar sirt tenglamasi z=f(x,y) ko'rinishda berilgan bo'lsa, bu tenglama x=u, y=v, z=f(u,v) ko'rinishdagi paraemtrik tenglamaga teng kuchlidir. Shuning uchun urinma tekislik tenglamasi kuyidagi ko'rinishda bo'ladi: =0 (2) yoki z-f(x0,y0)= fx(x0,y0)(x-x0)+ fy(x0,y0)(y-y0) (3) Endi F sirt (x,y,z)=0 (x2+y2+z20) ko'rinishdagi oshkormas tenglamalar bilan berilgan bo'lsin. Faraz kilaylik x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) tenglama F sirtning qandaydir parametrik tenglamasi bo'lsin. U xolda quyidagi ( x(u,v), y(u,v), z(u,v))=0 ayniyatga ega bo'lamiz. Bu ayniyatni u va v parametrlar bo'yicha differentsiallab quyidagini olamiz: xxu+yyu+zzu=0 xxv+yyv+zzv=0 Oxirgi tengliklar shuni ko'rsatadiki, (x, y, z) vektor ru(xu, yu, zu) rv(xv, yv, zv) vektorlarning xar biriga perpendikulyar ekan, chunki ularning skalyar ko'paytmasi 0 ga teng bo'ldi. Demak, bu vektor urinma tekislikka ...