Tenzor tushunchasi

Tenzor tushunchasi Reja: Tenzor tushunchasi Tenzorni ifodalovchi asosiy tushunchalar Kroneker belgisi Tenzorlar bilan bajariladigan asosiy algebraik amallar Avvalgi paragraflarda yig'indi olish amali bilan bog'langan (2), (3), (4) formulalar yoki (9) ni keltirib chiqarishlagi formulalarga diqqat qiladigan bo'lsak, shunday narsa ko'zga tashlanadi: yig'indi olinayotgan indeks ikki marta uchraydi va uni xohlagan harf bilan ishoralash mumkin. Tenzorlar nazariyasida yig'indi olish amalini yozishda mana bunday usul qabul qilingan: biror indeks bo'yicha yig'indi olinganda bu indeks ikki marta yozilib, yig'indi belgisi yozilmaydi. SHu aytilganlar nazarda tutilsa, (2), (16), (3), (4), (7), (8), (14), (15) formulalar xipcha shaklda yozilishi mumkin: Yig'ish indeksi (1) da k bilan, (2) da n bilan yoki (8) da i bilan ko'rsatilgan. Yig'ish indeksi qaysi harf bilan ko'rsatilmasin, tekshirilayotgan matematik ifodaning ma'nosi o'zgarmasdan qolaveradi. Masalan, (5) ni yozishda yig'ish indeksi k o'rniga m,n,l,s,p yoki yana bosha xil harflarni ishlatishimiz mumkin: YUqoridagi misollarimizdan shunisi ham ravshanki, yig'indi olish amaliga daxlsiz bo'lgan indeks yoki indekslar tenglikning ikkala tomonida o'zgarmasdan saqlanadi. Formulalarda ishtirok qiluvchi indekslarning qar biri yo 1 ga yo 2 ga yoki 3 ga teng bo'lishi mumkin. Vektorning analitik ta'rifini ifodalovchi (5) formulada yoki (6) formulada yig'indi hadlarining har birida uchraydigan vektor komponenti birinchi darajadagina ishtirok tsiladi. Demak, vektor komponentlarini almashtirish formulasi vektor komponentlariga nisbatan bir jinsli va chiziqlidir. SHuning uchun, biror Dekart sistemasida nolga teng bo'lgan vektor boshqa Dekart sistemasida ham nolga teng bo'ladi. Tenzorlarni ta'riflashda vektor komponentlarini almashtirish formulasi asos qilib olinadi. Quyidagi uchta vektor berilgan bo'lsin: Birinchi va ikkinchi vektor komponentlarining ikkitalab olingan ko'paytmasini yozaylik: CHap tomondagi ab ko'paytmalarning umumiy soni Z2 = 9 dir. O'ng tomondagi a'b' ko'paytmalarning umumiy soni ham Z2 = 9. Endi uchta vektor komponentlarining uchtalab olingan ko'paytmasini yozaylik: CHap tomondagi abc ko'paytmalarning umumiy soni 33 = 27, o'ng tomonidagi a'b'c' ko'paytmalarning umumiy soni ham 32 =27 dir. So'nggi formulalarning muhim tomoni shundan iboratki, vektor komponentlarining ko'paytmalari aniq almashtirish qonunlariga bo'ysunadi. Bu almashtirish formulalari komponentlarning ko'paytmalariga nisbatan chiziqli va bir jinsli dir. Tenzor deb ataluvchi miqdor ham o'ziga xos almashtirish qonunlariga ega. Ikki Dekart sistemasining birida Z2 = 9 ta T'ij miqdor to'plami, ikkinchisida esa Z2 = 9 ta boshqa T'ij miqdor to'plami berilib, bu ikki to'plam miqdorlari ushbu almashtirish qonuniga bo'ysunsin deb faraz qilaylik. (9) SHu almashtirish qonuniga buyso'ngan Z2 = 9 ta miqdor to'plami ikkinchi rangli (ikkinchi tartibli) tenzor deyiladi. Endi ikki Dekart sistemasining biridagi Z3 = 27 ta Tijk miqdor to'plami bilan ikkinchisidagi Z3 = 27 ta boshqa Tlmn miqdor to'plami quyidagi ...