Tenzorlar simmetriyasi va antisimmetriyasi

Tenzorlar simmetriyasi va antisimmetriyasi Reja: Tenzorlar simmetriyasi Tenzorlar antisimmetriyasi Tenzorlarni yig'ishtirish Tenzordan invariant tuzish. Tenzor indekslarining o'rinlarini almashtirish natijasida yana tenzor hosil bo'ladi. Masalan, Aijk tenzordan uning j indeksi bilan k indeksi o'rinlarini almashtirish natijasida vujudga kelgan miqdorlarni Vikj orqali belgilaylik: SHu Vikj miqdorlar tenzor komponentlaridir. Haqiqatan: bo'ladi. Tenzor indekslaridan ikkitasining o'rnini almashtirish amali tenzorni transpozitsiyalash deyiladi. Transpozitsiyalash yo'li bilan hosil qilingan tenzor transpozitsiyalangan tenzor deyiladi. Masalan, ikkinchi rangli tenzor: Indekslaridan. ikkitasining o'rnini almashtirish natijasida mos komponentlarining son qiymatlari va ishoralari o'zgarmaydigan tenzor shu ikki indeksga nisbatan simmetrik tenzor deyiladi. Masalan, uchinchi rangli tenzor j, k indekslarga nisbatan simmetrik ekan: bo'ladi. Ikkinchi rangli simmetrik Sij- tenzor uchun: (1) Tenzorning simmetrikligi invariantlik xususiyatiga ega: biror koordinatalar sistemasida simmetrik bo'lgan tenzor, har qanday boshqa sistemada ham simmetrik tenzor bo'ladi. Haqiqatan, tenzor ta'rifiga va (1) ga binoan: bo'ladi. Ikkinchi rangli simmetrik tenzorning hammasi bo'lib to'qqizta komponenti bor. Ammo bulardan uchtasi (1) ga asosan mos olingan boshqa uchtasiga teng bo'lishi kerak. SHunday qilib, ikkinchi rangli simmetrik tenzorning o'zaro bog'lanmagan komponentlari faqat oltitadir. Indekslaridan ikkitasining o'rni almashtirilganda komponentlarining son qiymatlari saqlanib, faqat ishoralarigina teskariga o'zgaradigan tenzor shu ikki indeksga nisbatan antisimmetrik tenzor deyiladi. Masalan, uchinchi rangli A tenzor birinchi va ikkinchi indekslarga nisbatan antisimmetrik ekan: bo'ladi. Ikkinchi rangli antisimmetrik tenzor Aij uchun: (2) bo'ladi. Tenzor antisimmetriyasi ham yuqoridagi ma'noda invariantlik xususiyatiga ega. Biror koordinatalar sistemasi da antisimmetrik bo'lgan tenzor har qanday boshqa koordinatalar sistemasida ham antisimmetrik tenzor bo'lib qoladi. Haqiqatan: Antisimmetrik tenzorning bir xil indeksli komponentlari nolga teng. Haqiqatan: demak: Qolgan oltita komponentning uchtasi boshqa uchtasidan o'zi ning ishorasi bilan farq qiladi, xolos. SHunday qilib, ikkinchi rangli antisimmetrik tenzorning o'zaro bog'lanmagan komponentlari faqat uchtaginadir. YAqqollik uchun bu antisimmetrik tenzorni matritsa shaklida ifodalaylik: Bir misolni ko'rib chiqaylik. Ikkinchi rangli multiplikativ tenzor berilgan bo'lsin: (4) Endi bunday tenzor tashkil qilaylik: (5) Bundan: bo'ladi, ya'ni yangi Sij tenzor simmetrik tenzordir. Endi berilgan tenzordan quyidagicha ifodalangan tenzor tashkil qilaylik: (6) Bundan: bo'ladi, ya'ni yangi Aij tenzor antisimmetrikdir. Uning o'zaro bog'lanmagan uchta komponenti quyidagilardir: Bu komponentlar esa ikki vektorning vektor ko'paytmasi komponentlaridir. SHunday qilib, ikkinchi rangli antisimmetrik Aij tenzorni uch o'lchovli fazoda ikki vektorning vektor ko'paytnasi deb qarash mumkin. Simmetrik yoki antisimmetrik bo'lmagan tenzor odatda asimmetrik tenzor deyiladi. Lekin ikkinchi rangli har qanday tenzordan simmetrik tenzor hosil qilish mumkin. Haqiqatan, berilgan ikkinchi rangli ixtiyoriy Ttj tenzordan ikkinchi rangli yangi Stj tenzor tuzaylik: Indekslarning o'rinlarini almashtirib yozaylik: So'nggi ikki formuladan: bo'ladi. Endi o'sha tenzor Tij dan yana ikkinchi rangli boshqa Aij ...