Xos vektor va xos qiymatlar

Xos vektor va xos qiymatlar Reja: 1. Chiziqli operatorning diagonallashuvchilik kriteriyasi. 2. Chiziqli operatorning xos qiymati. 3. Turli xos qiymatlarga mos keluvchi xos vektorlarning ortogonalligi. 4. Xos qiymatning geometrik va algebraik karraligi. 5. Gamilton-Keli teoremasi. ta'rif-1. Agar chekli o'lchamli chiziqli fazoda chiziqli operator matritsasini diagonal ko'rinishga keltiradigan bazis mavjud bo'lsa, bunday chiziqli operator diagonallashuvchi deyiladi. ta'rif-2. Agar noldan farqli vektor uchun shunday mavjud bo'lib, tenglik bajarilsa, vektor chiziqli operatorning xos vektori, esa bu xos vektorga mos xos qiymat (xos son) deyiladi. Teorema-1. Chekli o'lchamli fazodagi chiziqli operatorning diagonallashuvchi bo'lishi uchun uning xos vektorlaridan tashkil topgan bazisi mavjud bo'lishi zarur va etarlidir. Isbot. Chiziqli operatorning diagonallashuvchi, yani biror bazisda uning matritsasi diagonal ko'rinishda bo'lsin: . U holda . Demak, tizim xos vektorlardan iborat, sonlar esa xos qiymatlardan iborat bo'ladi. Aksincha tengliklardan operatorning bazisdagi matritsasi diagonalligi va bilan ustma-ust tushishi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi. matritsa - chiziqli operatorning biror bazisdagi matritsasi bo'lsin. ta'rif-3. - chiziqli operatorning xarakteristik ko'phadi deb quyidagi ko'phadga aytiladi: . Izox. Ushbu ta'rif to'g'ri chunki u bazis tanlashga bog'lik emas. Haqiqatan ham, bo'ladi. Teorema-2. soni - chiziqli operatorning xos qiymati bo'lishi uchun u operator xarakteristik ko'phadining ildizi bo'lishi zarur va etarlidir. Isbot. soni - chiziqli operatorning xos qiymati bo'lsa, shunday noldan farqli vektor uchun Teorema isbotlandi. Natija. Chekli o'lchamli kompleks fazoda har qanday chiziqli operator xos vektorga ega. Bu natijada chekli o'lchamlilik sharti muhim. cheksiz o'lchamli fazoda operator hech qanday xos vektorga ega emas. Chiziqli operator uchun chiziqli V fazoda xos vektorlarning mavjud bo'lishi, bu fazoda bir o'lchamli invariant qism fazoning mavjud bo'lishiga teng kuchli. Bunga ko'ra, chekli o'lchamli kompleks fazoda har qanday chiziqli operator bir o'lchamli qism fazoga ega. Teorema-3. Agar chekli o'lchamli kompleks fazoda ikki chiziqli f va g operatorlar o'rin almashinuvchi (yani fg=gf) bo'lsa, u holda ular umumiy xos vektorga ega. Isbot. Chiziqli f operator uchun a -xos vektor va -unga mos xos son bo'lsin: . fazo chiziqli operatorning (e birlik operator) negizi bo'lsin. U noldan farqli, chunki . Agar bo'lsa, u holda va . Bu ekanini ko'rsatadi. Demak, chiziqli f va g operatorlar uchun invariant. Chiziqli g operatorning aniqlanish sohasini gacha toraytirish natijasida hosil bo'lgan operatorni bilan belgilaymiz. Natijaga asosan operator da kamida bitta xos vektorga ega. Masalan, shunday xos vektor bo'lsin: . Bu vektor f uchun ham xos vektor , chunki . Teorema isbotlandi. Teorema-4. Agar sonli F maydon ustidagi n o'lchamli chiziqli fazoda aniqlangan chiziqli operatorning xarakteristik ko'phadi n ta turli ildizga ega ...