Yakobi sharti va kifoya shartlari

Yakobi sharti va kifoya shartlari Reja: 1. Yakobi sharti. 2. Veyershtrass sharti. 3. Lejandr sharti. (1) integralga ekstremum qiymat berish masalasini ko'rish natijasida ekstremallar oilasi maydon hosil qilishini aniqlanadik; bu oilaning har bir chizig'i Eyler tenglamasining yechimi, yani zaruriy shartni qanoatlantiradi. Lekin variatsion masalani ta'riflaganda integralga ekstremum qiymat beruvchi chiziqni mumkin bo'lgan qo'shni chiziqlar ichidan oldik. Demak, integralga ekstremal qiymat beruvi ekstremallar maydonining ichki chizig'i bo'lishi lozim. Ekstremallar maydoni izlanayotgan chiziqni to'la o'rashi kerak (Yakobi sharti). Shunday qilib, quyidagi savollarga javob berish kerak: 1. Eyler tenglamasini yechish natijasida hosil bo'lgan, A nuqtadan o'tuvchi chiziqlar maydon hosil qiladimi? Savoga javob berish uchun bu chiziqlar qaralayotgan sohaning A nuqtasidan boshqa nuqtasida kesishmasligini ko'rsatish lozim; 2. ekstremallar oilasi ichidan ajratib olingan chiziq ichki chiziqmi? 3. bu topilgan chiziq funksionalga haqiqatan maksimum yoki minimum qiymat beradimi? (kifoya shart). Manna shu savollarga javob bersak, variatsion masala to'liq echilgan bo'ladi. Ekstremallar oilasi bo'lsin. Bunda parametr A nuqtada har bir ekstremalning burchak koeffitsiyentini ifodalasin. Biz izlayotgan ekstremal ning qiymatiga mos keladi deylik. Quyidagi holatni eslatib o'taylik: bir parametrli chiziqlar oilasi ni 1-tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi deb qarashimiz mumkin. Agar mavjudlik va yagonalik teoremasining Lipshits sharti buzilgan bo'lsa, u holda maxsuslik o'rinli bo'lib, zaruriy shart yoziladi. va shartlar bo'yicha topilgan chiziq diskriminant chiziq deyiladi. Diskriminant chiziq bilan oila chiziq chiziqlari umumiy urinmaga ega bo'lsa, u holda diskriminant chiziq o'rama deyiladi. Agar chiziqlar oilasi markazga ega bo'lsa, bu nuqtadan oilaning cheksiz ko'p chiziqlari o'tgani uchun markaz diskriminant chiziqda yotadi. Masalada A nuqta diskriminant chiziqda yotadi va ekstremallar oilasi bir parametrli chiziqlar oilasi bo'lgani uchun shart bajarilishi diskriminant chiziq mavjud bo'lishining zaruriy sharti bo'ladi. Demak, diskriminant chiziq va xususan, o'rama ushbu tenglamalar bilan ifodalanadi: , (94) Ekstremallar oilasi o'ramaga ega bo'lsa, uning ustida yotgan ekstremalning nuqtasi A ga qo'shma nuqta deyiladi. O'ramaga yaqin nuqtalarda oila chiziqlari kesishadi, demak, bu nuqtalar maydonda yotmasligi kerak, yani ekstremalning 2- uchi V manna shu nuqtalardan oldin kelishi lozim. Bu aytilganlarni analitik tasvirlaylik. Alohida olingan har chiziq bo'ylab faqat x ning funksiyasi, buni = deb belgilasak, bo'ladi. lar Eyler tenglamasining yechimlari bo'lgani uchun ayniyat bajariladi. Bundan bo'yicha hosila olib, ga nisbatan quyidagi Yakobi tenglamasiga ega bo'lamiz: (95) (95) tenglamaning yechimi uchun ekstremallarning markazi bo'lgan A nuqtada shart bajariladi. Agar shart A nuqtadan boshqa nuqtada ham bajarilsa, u holda oila maydon hosil qilmaydi, yani Yakobi sharti bajarilmaydi. Agar shart kesmada faqat oila markazi A nuqtadagina bajarilsa, u holda A nuqta qo'shma nuqtaga ega bo'lmay, ekstremallar ...