Yevklid fazosi

Yevklid fazosi Reja: 1. Yevklid fazosining ta'rifi. 2. Vektorning uzunligi. Vektorlar orasidagi burchak. 3. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi. 1. Yevklid fazosining ta'rifi. ta'rif-1. -haqiqiy fazo bo'lsin. Agar vektorlarning har bir juftiga haqiqiy son mos qo'yilgan bo'lsa (bu sonni (x,u) shaklida belgilaymiz) va shu bilan birga bu moslik quyidagi to'rt xossaga ega bo'lsa (shu aksiomalarni qanoatlantirsa), V da skalyar ko'paytma aniqlangan deyiladi. 10. (x,u)=(u,x), yani skalyar kupaytma simmetrik. 20. (x,u)= (u,x), (bunda -haqiqiy son) 30. skalyar ko'paytmaning distributivligi). 40. Vektorning o'z-o'ziga skalyar ko'paytmasi manfiy emas: (x,x)0 (x=0 bo'lgandagina bu ko'paytma nolga aylanadi). 10-40 shartlarni qanoatlantiruvchi skalyar ko'paytma aniqlangan affin fazoni biz Yevklid fazosi deb ataymiz. Misollar. 1. V fazo vektorlarini biz n ta har qanday haqiqiy sonlar tizimiga aytaylik. Vektorlarni qo'shish va songa ko'paytirish amallarini quyidagicha ta'riflaymiz. Ushbu vektorlarning skalyar ko'paytmasini formula bilan aniqlaymiz. 10-30 aksiomalar haqiqatan ham bajariladi, buni tekshirib ko'rish qiyin emas. 40 aksioma ham o'rinlidir, chunki va bo'lgan holdagina . 3. 1-misolga ko'ra umumiyroq misolni ko'rib chiqaylik. Vektorni ilgarigicha, n ta haqiqiy sonlar to'plami deb qaraymiz. Vektorlarni qo'shish va ularni songa ko'paytirishni 1-misoldagi kabi aniqlaymiz. Biror matritsani olamiz. x va u vektorlar skalyar ko'paytmasini ushbu formula bilan aniqlaymiz: (1) (1) formula bilan aniqlangan ifoda skalyar ko'paytmaning hamma aksiomalarini haqiqatan qanoatlantirishi uchun matritsaga qanday shartlar qo'yish kerak ekanligini ko'raylik. Har qanday matritsa uchun 20 va 30 aksiomalarning bajarilishiga to'g'ridan to'g'ri tekshirish bilan isxonamiz. 10 aksiomaning bajarilishi uchun, yani (x,u) ifoda x va u ga nisbatan simmetrik bo'lishi uchun (2) bo'lishi, yani matritsaning simmetrik bo'lishi zarur va etarlidir. 40 aksioma (3) ifodaning har qanday lar uchun manfiy bo'lmasligini hamda bo'lgandagina nolga aylanishini talab qilamiz. Agar (3) formula bilan aniqlanadigan bir jinsli ko'phad («kvadratik forma») faqat manfiy bo'lmagan qiymatlarni kabul qilsa va larning hammasi nolga teng bo'lgandagina nolga aylansa, u musbat aniqlangan kvadratik forma deyiladi. Demak, 40 aksioma (3) kvadratik formaning musbat aniqlangan bo'lishini talab qiladi. Shunday qilib, agar har qanday matritsa simmetrik bo'lsa (20 shart) va unga mos kvadratik forma musbat aniqlangan bo'lsa, u holda bu matritsa (1) formula bilan aniqlanadigan skalyar ko'paytmani tasvirlab beradi. Agar matritsa matritsa sifatida birlik matritsani olsak, yani va deb olsak, u holda (x,u) skalyar ko'paytma ko'rinishni oladi va biz 1-misolda aniqlangan evklid fazosini hosil qilamiz. 4. (a,b) intervalda berilgan uzluksiz funksiyalarni V fazoning vektorlari deb ataylik. Bunday funksiyalarning skalyar ko'paytmasi, bu funksiyalar ko'paytmasining integrali sifatida beramiz: . Skalyar ko'paytmani bunday berilganda 10-40 aksiomalar bajariladi. 5. t bo'yicha tuzilgan va darajasi n-1 dan oshmaydigan ko'phadlarni vektorlar deb ...