Yuqori tartibli differensial tenglamalar

Yuqori tartibli differensial tenglamalar Reja Yuqori tartibli differensial tenglamalar. Yuqori tartibli tartibi pasayadigan differensial tenglamalar. O'zgarmas koeffitsientli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar. O'zgarmas koeffitsientli bir jinsli bo'lmagan chiziqli differensial tenglamalar. Yuqori tartibli differensial tenglamalar Ta'rif. F(x,y,y',,y(n))=0 ko'rinishdagi tenglamaga n - tartibli differensial tenglama deyiladi. Ta'rif. n - tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi deb n ta с1, с2, сn - ixtiyoriy o'zgarmas miqdorlarga bog'liq bo'lgan y= (x, с1, с2, сn) funksiyaga aytiladi. Bu funksiya: с1,,сn larning ixtiyoriy qiymatlarida tenglamani qanoatlantiradi; berilgan y(x0)=y0, (x0)=y1,, y(n-1)(x0)=yn-1 boshlang'ich shartda с1, с2, сn larni shunday tanlash mumkinki, y= (x, с1, с2, сn) funksiya bu boshlang'ich shartni qanoatlantiradi. Ta'rif. Umumiy yechimdan с1, с2, сn miqdorlarning tayin qiymatlarida hosil bo'ladigan funksiya xususiy yechim deyiladi. Yuqori tartibli tartibi pasayadigan differensial tenglamalar y(n)=f(x) ko'rinishidagi tenglama. y(n)=(y(n-1))' ni e'tiborga olib ni hosil qilamiz, bunda x0 x ning tayinlangan qiymati, с1 - o'zgarmas miqdor. Integrallashni shunday davom ettirib ifodani hosil qilamiz. Boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimni topish uchun Сn=y0, Cn-1=y1, ., C1=yn-1 deb olish etarli. 2. y=f(x,y) ko'rinishidagi tenglama. =p deb, y=p' ni xosil qilamiz. Demak, p'= f(x,y) Bu tenglamani integrallab - umumiy yechimni topamiz. munosabatdan esa - umumiy yechimni xosil qilamiz. 3. ko'rinishidagi tenglama ham deb parametr kiritish bilan (- ) yuqorida o'rganilgan tenglamaga keltiriladi. munosabatdan y ni topib, yechim xosil qilinadi. 4. ko'rinishidagi tenglama. Bu tenglamani yechish uchun deb olamiz. Ammo p ni y ning funksiyasi deb qaraymiz: p=p(y) U xolda, va larni berilgan tenglamaga qo'yib birinchi tartibli differensial tenglamani xosil qilamiz. Bu tenglamani integrallab p=p(y,c1) yechimni va munosabatdan tenglamani olamiz. Bu tenglamani integrallab, dastlabki tenglamaning F(x,y,c1,c2)=0 umumiy yechimini xosil qilamiz. O'zgarmas koeffitsientli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar Ta'rif. a0y(n)+a1y(n-1)++ an-1y'+any=f(x) (4.2) ko'rinishdagi tenglama n-tartibli chiziqli , o'zgarmas koeffitsientli differensial tenglama deyiladi, bunda a0,.a1,,an-1,an - o'zgarmas miqdorlar, a00. Agar f(x)0 bo'lsa, bir jinsli bo'lmagan tenglama, f(x) 0 bo'lsa, bir jinsli tenglama deyiladi. 1-teorema y1 va y2 2- tartibli bir jinsli chiziqli y+ a1y'+a2y=0 (4.3) tenglamaning xususiy yechimlari bo'lsa, u xolda y=y1+y2 ham shu tenglamaning yechimi bo'ladi. 2- teorema Agar y (4.3) tenglamaning yechimi bulsa , u xolda cy ham shu tenglamaning yechimi bo'ladi. Ta'rif Agar [a,b] da (4.3) tenglamaning 2 ta yechimining nisbati o'zgarmas miqdorga teng , ya'ni bo'lsa y1 va y2 yechimlar [a,b] da chiziqli erkli yechimlar deyiladi, aks xolda chiziqli bog'lik yechimlar deyiladi . Ta'rif W(y1 , y2)= = y1 2 - 1 y2 - ko'rinishdagi determinant Vronskiy determinanti deyiladi. 3- ...