Butunlik sohasida nisbatlar maydonini qurish

Butunlik sohasida nisbatlar maydonini qurish Reja: 1.Butunlik sohasida maydon joylashtirish masalasi. 2.Butunlik sohasidan olingan nisbatlarni maydon tashkil etishi. 3.Har qanday butnlik sohasi uchun nisbatlar maydoni mavjudligi. Oldingi ma'ruzalarimizda Z va P[x] halqalarning umumiy xossalari o'rganilgan edi.Endi maqsadimiz P[x] halqani maydonga joylashtirish. Bunga namuna sifatida Z ni Q da joylashishini olish mumkin. Ixtiyoriy A butunlik sohasi uchun bu masalani yechish qiyin emas. AA*(A*=A0) to'plamni qaraylik.U (a,b) juftliklardan tuzilgan, bunda a,bA va b0. Bu to'plamni sinflarga ajratamiz: (a,b) va (c,d) juftliklar bitta sinfga tegishli deymiz, agarda faqat va faqat ad = bc bo'lsa va u quyidagicha yoziladi: (a,b) (c,d). Ravshanki, har doim (a,b) (a,b) va (a,b) (c,d) (c,d) (a,b) bo'ladi. Nihoyat, (a,b) (c,d),(c,d) (e,f)(a,b) (e,f) bo'ladi.Haqiqatan ham, quyidagi tengliklar o'rinli ab = bc, cf = de bulardan esa adf = bcf = bde ya'ni d(af-bc) = 0, d 0 ekanligidan af = be tenglikni hosil qilamiz, bundan esa (a,b) (c,d) bo'ladi. Demak munosabat refliksiv, simmetrik va tranzitiv, ya'ni u AA* to'plamda ekvivalentlik munosabati bo'ladi. U bu to'plamni kesishmaydigan sinflarga ajratadi. Q(A) orqali barcha ekvivalentlik sinflari to'plamini yoki AA* to'plamdan munosabat orqali tuzilgan, AA* faktor to'plamni belgilaymiz. [a,b] orqali esa (a,b) juftliklar yotgan sinfni belgilaymiz. Ta'rifdan [a,b] = [c,d] ad = bc (1) Munosabat kelib chiqadi.Agar AA* to'plamda qo'shish va ko'paytirish amallarini quyidagicha aniqlasak ,u holda bu binar amallarni Q(A) da ko'chirish mumkin: (a,b) + (c,d) = (ad + bc , bd); (a,b)(c,d) = (ac,bd) ( Bunday qilish mumkin chunki, A da b 0 ,d0 dan bd 0 kelib chiqadi.) Haqiqatan ham , biz ko'rsatishimiz lozimki: (a',b' ) (a,b) (a,b)+(c,d) (a',b' )+(c,d) va (a,d)(c,d) (a',b' )(c,d). bo'ladi. Bu esa (ad+bc)b'd=(a'd+b'c)bd, acb'd = a'cbd, tengliklarga ekvivalent.Bularni o'rinli ekanligi a'b = ab' tenglikdan kelib chiqadi. (c,d) va (c',d' ) bilan almashtirib xuddi shunga o'xshash natija olamiz. Bundan, Q(A) da qo'shish va ko'paytirish amallari ekvivalentlik sinf vakillaridan qaysi birini olishga bog'liq emas ekanligi kelib chiqadi. [a,b] + [c,d]=[ad + bc,bd];[a,b][c,d] = [ac,bd] , (2 ) Bu yerda [a,b][c,d] va [a,b][c,d] ko'rinishda yozish lozim edi. Lekin biz va begilarni odatdagi qo'shish va ko'paytirish bilan almashtirdik. Endi ko'rishimiz mumkinki ,Q(A) da aniqlangan (2 ) amallarga ko'ra u maydon bo'ladi.Haqiqatan ham , quyidagi tengliklardan qo'shishning assotsiativligi kelib chiqadi.Ko'paytirishning assotsiativligi esa ravshan. [a,b]+([c,d]+[e,f])=[a,b]+[cf+de,df]=[adf+bcf+bde,bdf], ([a,b]+[c,d])+[e,f]=[ad+bc,bd]+[e,f]=[adf+bcf+bde,bdf] Ushbu ( [a,b]+[c,d] ) [e,f]=ade+bce,bdf], [a,b][e,f]+[c,d][e,f]=[adef+bcef,bfdf]=[9ade+bec)f,(bdf)f] munosabatlardan va ( 1 ) dan distributivlik qonuni ham bajarilishi kelib chiqadi. Qo'shish va ko'paytirish uchun kommutativlik xossasini bajarilishini juda oddiy tekshirish mumkin. Qo'shish uchun nol element bo'lib [0,1] ...