C [a,b] fazodagi to'plamning kompaktligi

C[a,b] fazodagi to'plamning kompaktligi C[a,b] da uzluksiz funksiyalarning cheksiz to'plamlari mavjud bo'lib, ularni yaqinlashuvchi (C[a,b] dagi metrikaga nisbatan) ketma-ketlik ajratib olish mumkin emas. Masalan, C[0,1] da ushbu funksiyalar to'plamini qaraylik: Bu funksiyalar ketma-ketligi [0,1] da chegaralangan, uning limit funksiyasi (1) bo'lib, uzluksiz funksiya emas, ya'ni C[0,1] ga tegishli emas. Yuqoridagi ketma-ketlikning ixtiyoriy qism ketma-ketligi ham (1) funksiyaga yaqinlashadi, ya'ni C[0,1] da yaqinlashmaydi. C[0,1] da komponentlik shartini keltiramiz. Avval quyidagi tushunchalarni kiritamiz. 1-ta'rif. Aytaylik M [a,b] kesmada aniqlangan uzluksiz funksiyalarning biror to'plami bo'lsin. Agar barcha va M to'plamdan oligan barcha f(x) funksiyalar uchun tengsizlikni qanoatlantiruvchi k son mavjud bo'lsa, M funksiyalar to'plami tekis chegaralangan deyiladi. 2-ta'rif. Agar ixtiyoriy son uchun shunday son topilib, tengsizlik bajarilganda, M to'plamga tegishli ixtiyoriy f(x) funksiya uchun bo'lsa, M to'plam tekis darajada uzluksiz deyiladi. Teorema. (Arstel teoremasi). [a,b] sigmentda aniqlangan uzluksiz funksiyalardan iborat M to'plam C[a,b] fazoda nisbiy kompakt bo'lishi uchun M to'plamning tekis darajada uzluksiz bo'lishi zarur va etarli. Isboti. Zaruriyligi. Aytaylik, M nisbiy kompakt to'plam bo'lsin. M to'plam tekis chegaralangan va tekis darajada uzluksiz ekanligini isbotlaymiz. Avval M ning tekis chegaralanganligini ko'rsatamiz. To'la metrik fazoda to'plamning nisbiy kompakt bo'lishining zaruriy va etarli shartiga ko'ra ixtiyoriy son uchun -to'rni tashkil qiluvchi (1) funksiyalar mavjud bo'ladi. Bu funksiyalarning har biri [a,b] da uzluksiz bo'lganligi uchun chegaralangan bo'ladi, ya'ni bo'ladi. Chekli -to'rning ta'rifiga ko'ra M dan olingan ixtiyoriy f(x) uchun (1) dagi soni chekli funksiyalar orasida funksiya topilib, uning uchun tengsizlik o'rinli bo'ladi. Natijada , ya'ni M tekis chegaralangan bo'ladi. Endi M to'plamning tekis darajada uzluksiz ekanligini ko'rsatamiz. (1) funksiyaning har biri uzluksiz, [a,b] da tekis uzluksiz va ularning soni chekli. Demak, uchun shunday son mavjudki, buning uchun quyidagilarni yozish mumkin: agar bo'lsa, ni belgilash kiritamiz. Agar bo'lsa, u holda ixtiyoriy uchun ning (1) funksiyalar orasidan tengsizlikni qanoatlantiradiganligini olib, Ushbu munosabatni yoza olamiz: Bu esa M ning tekis darajada uzluksizligini isbotlaydi. Etarligi. M tekis chegaralangan va tekis darajada uzluksiz bo'lsin. Agar ixtiyoriy 0 uchun unga nisbatan C[a,b] da chekli -to'r mavjud bo'lsa, bu M to'plamning C[a,b] da nisbiy komponentligini ko'rsatgan bo'lamiz. Ixtiyoriy 0 son uchun ni shunday tanlab olamizki, uchun bo'lsin. Endi xou tekislikdagi to'rg'ri to'rtburchakni quyidagicha tanlangan: bo'linish nuqtalari yordamida teng to'g'ri burchakli to'rtburchaklarga ajratamiz. Kichik to'g'ri to'rtburchaklar diagonallari tuzilgan barcha (x) uzluksiz siniq chiziqlardan iborat funksiyalarni qaraymiz. bunday funksiyalar chekli to'plam tashkil qiladi. Bu to'plamning M uchun -to'r tashkil qilishini ko'rsatamiz. M to'plamdan ixtiyoriy f(x) funksiyani olamiz. (x) bu funksiyadan eng kam uzoqlashgan aniq funksiya ...