Chiziqli funkstionallar haqidagi Xan - Banax teoremasi

Chiziqli funkstionallar haqidagi Xan-Banax teoremasi E haqiqiy chiziqli fazo bo'lsin. Agar :E[0,) funkstionallar uchun: 1) (x+u) (x)+ ( u) 2) (x)=(x), 0 shartlar bajarilsa, u holda funkstionalni qabariq deyiladi. Bu ta'rifdan ko'rinadiki normallangan fazodagi norma qabariq funkstional bo'ladi. Misollar. Rn fazoda berilgan va quyidagi tenglik aniqlangan : Rn [0,) funkstional qabariq bo'ladi. Shu bilan birga, funkstional fazodagi norma ham bo'ladi. Haqiqatdan ham, bu funkstional uchun (x+u) (x)+ ( u) munosabat o'rinli bshlishini quyidagicha tekshiriladi. Ushbu tenglik o'rinli. Bu ayniyatdan esa, tenglik kelib chiqadi. Oxirgi tengsizlikdan quyidagicha foydalanamiz. yoki bu yerda va funkstional uchun 2) shartning bajarilishi bevosita kelib chiqadi. S=[0,1] to'plamda berilgan va quyidagi tenglik bilan aniqlangan :S[0,1][0,) funkstionalning qabariqligi juda oson tekshiriladi. Lekin bu funkstional norma shartlarini to'liq qanoatlantirmaydi, chunki f(x)=x-0,5 funksiya . S=[0,1] fazoga tegishli va f(0,5)=0 tenglik o'rinliyu Bu funkstional uchun normadagi 1) shart bajarilmaydi, ya'ni 0 dan farqli f element uchun bajariladi. E-haqiqiy chiziqli fazo va E0 uning qism fazosi bo'lsin. f0 va E0 qism fazoda berilgan funkstional bo'lsin. Agar f:yer chiziqli funkstional uchun tenglik barcha xE0 elementlar uchun o'rinli bo'lsa, u holda f funkstional f0 ning E0 fazodan E fazogacha davomi deyiladi. Kichikroq fazoda berilga chiziqli fazo funkstionalni kattaroq fazogacha davom ettirish matematik tahlilning asosiy vazifalaridan biridir. Bu masala haqiqiy chiziqli fazofa'zolar quyidagi teorema orqali hal qilingan. Teorema (Xan-Banax). E-haqiqiy chiziqli fazo fazo, f0 esa, E ning qandaydir qism fazosi E0 da berilga chiziqli fazo funkstional bo'lsin. Agar E da berilgan qabariq funkstional uchun (1) munosabat barcha xE0 elementlar uchun o'rinli bo'lsa, u holda shunday f:yer chiziqli fazo funkstionali mavjudki, u f0 funkstionalning davomi bo'ladi va xE tengsizlikni qanoatlantiradi. Isboti. Aytaylik, EE0 bo'lib, f0 chiziqli fazo funkstional E0 qism fazoda berilgan bo'lsin. Uni E0 dan kattaroq bo'lgan E qism fazoga davom ettirish mumkinligini ko'rsatamiz. E0 qism fazoga tegishli bo'lmagan zE elementni olamiz va E0 hamda z elementni o'z ichiga olgan eng kichik qism fazoni E bilan belgilaymiz, ya'ni E0 E E munosabat o'rinli va E ning ixtiyoriy elementini az+x, xE0, xR ko'rinishda ifodalash mumkin. Agar f0 funkstionalning E' dagi davomi f bilan belgilasak, f(az+x)= f(z)+ f0(x) tenglik o'rinli bo'ladi, chunki E0 qism fazoning elementlari uchun f(x)=f0(x0) tenglik bajariladi. Agar f(z)=s deb belgilash kiritsak, f(az+x)=s+f0(x) bajariladi. Endi s ni shunday tanlash kerakki, har qanday xE0 element va ixtiyoriy haqiqiy son uchun (1) tengsizlik bajarilsin, ya'ni f(x0)+sr(z+x) 0 bo'lganda oxirgi tengsizlikni yoki (2) ko'rinishda, agar 0 bo'lsa, uni yoki (3) ko'rinishda yozish mumkin. (2) va (3) tengliklarni ...