Karrali ko'paytuvchilar. Viyet formulalari

Karrali ko'paytuvchilar. Viet formulalari Reja: Ko'pxadning karrali ildizi. Ko'pxadning karrali ildiza xaqidagi teorema. Ko'pxadning karrali ildiza xaqidagi teoremadan kelib chiqadigan natijalar. Viet teoremasi. Akslantirishni f(x) ga m marta qo'llash f(m)(x) orqali belgilanadi. Ravshanki, f(x) = a0xn+a1xn-1++an-1x+an f(n)(x) = n!a0, f(n+1)(x) = 0. Agar P maydon nol xarakteristikali bo'lsa, u holda deg f'= deg f - 1 bo'ladi. Lekin chekli р xarakteristikali maydonda bunday emas , chunki (xkp)'= kpxkp-1= 0 Umumiy holda hosila olishni qarash maqsadga muvofiq. Ixtiyoriy f P[x] ni (x-c)2 ga bo'lib, cF , F P, so'ngra esa qolqiqni (x-c)s + r ko'rinishda yozib, bunda s, r F, biz quyidagi munosabatga kelamiz f = = (x-c)2t + (x-c)s + r, f '= (x-c)[2t+(x-c)t'] + s. Bundan x = c deb r = f( c), s = f '(c ) hosil qilamiz. f(x) = (x-c)2 t(x) + (x-c) f '(c ) + f ( c) Biz quyidagi tasdiqqa keldik. 4- teorema. P ixtiyoriy maydon va F uning ixtiyoriy kengaytmasi bo'lsin. fP[x] ko'phad cF karrali ildizga ega bo'ladi faqat va faqat, agarda f (c ) = f '(c ) = 0 bo'lsa. 1- misol.Ixtiyoriy p xarakteristikali maydonda xn-1 faqat oddiy ildizga ega, agarda n р ga bo'linmasa.Haqiqatan ham, nxn-1 hosilani ildizi xn-1 ko'phadni ildizi bo'lishi mumkin emas. Faraz qilaylik,P nol xarakteristikali maydon bo'lsin va umumiylikka zid emaski P sifatida Q, R yoki C maydonlarni birini olsak. f(x) P[x] ko'phadni unitar keltirilmaydigan pi(x) lar bo'yicha yoyilmasi f(x) = p1k1p2k2prkr , P (10) bo'lsin. pi(x) lar f(x) ko'phadni ( karrali ildiz ta'rifiga o'xshash) ki - karrali ko'paytuvchilari deyiladi.Oldingi ma'ruzalarda aytilgan ediki, (10) yoyilmani topish amaliyotda juda qiyin.Quyida shunday metod ko'rsatamizki, ushbu metod yordamida berilgan Р maydonda f(x) ko'phad karrali ko'paytuvchilarga egami yoki yo'qmi ekanligini aniqlash mumkin bo'ladi. 5- teorema. p(x) keltirilmaydigan ko'phad f(x) P[x] ko'phadni k- karrali keltirilmaydigan ko'paytuvchisi bo'lsin ( k 1, deg p(x) 1). U holda p(x) f ' (x) hosilaning (k-1)-karrali ko'paytuvchisi bo'ladi. Xususan, k =1 da f ' p(x) ga bo'lnmaydi. Isboti. Shartga ko'ra f(x) = pk(x)g(x), bunda (p(x),g(x)) =1 , ya'ni g(x) p(x) ga bo'linmaydi. (8) va (9) qo'llab, f '(x) = pk-1(x)[ kp'(x)g(x)+p(x)g'(x)], tenglikni hosil qilamiz.Kvadrat qavs ichida turgan ko'phad p(x) ga bo'linmasligini ko'rsatsak teorema isbot bo'ladi. kp'(x)g(x) ko'phad p(x) ga bo'linishi mumkin emas, chunki g(x) p(x) ga bo'linmaydi hamda deg kp'(x) deg p(x) . Teorema isbot bo'ldi. Isbotlash davomida p(x) keltirilmasligi va char P = 0 ekanligidan foydalandik. 1- natija. Koeffisientlari nol xarakteristikali Р maydondan ...